Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)= 3 x^2-12 x e o custo mensal da produção é dado por C(x)= 5 x^2-40 x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a
A) 4 lotes.
B) 5 lotes.
C) 6 lotes.
D) 7 lotes.
E) 8 lotes.

Passo 1

O enunciado dá a receita mensal de vendas V(x)=3x^2-12x e o custo mensal C(x)=5x^2-40x-40, e pede o valor de x que maximiza o lucro. O conteúdo aqui é otimização de função quadrática (lucro) usando vértice de parábola.

Passo 2

Para achar o lucro mensal, montamos a função P(x)=V(x)-C(x). Substituindo, temos:
P(x) = (3x^2 - 12x) - (5x^2 - 40x - 40)
Agrupando termos parecidos,
P(x) = 3x^2 - 12x - 5x^2 + 40x + 40 = -2x^2 + 28x + 40

Passo 3

Como o coeficiente de x^2 é -2<0, a parábola é côncava (volta para baixo) e tem um máximo. Para uma função ax^2+bx+c, o vértice ocorre em x = -tfracb2a.
Aqui a=-2 e b=28, logo
x^* = -282cdot(-2) = -28-4 = 7

Passo 4

Portanto, para obter lucro máximo, a indústria deve produzir e vender 7 lotes por mês.

Resposta

7 lotes.

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