Em uma indústria que produz parafusos sabe-se que há uma probabilidade de 0,05 que um parafuso selecionado aleatoriamente seja defeituoso. Considere que:
(a) São selecionados 10 parafusos aleatoriamente, qual a probabilidade de ao menos dois serem defeituosos?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
  • Probabilidade de um parafuso ser defeituoso: p=0,05.
  • Número de parafusos selecionados: n=10.
  • A pergunta: calcular a probabilidade de que ao menos dois dos 10 parafusos sejam defeituosos, isto é, encontrar \Pr(X\ge2) onde X é o número de parafusos defeituosos na amostra.

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Quando fazemos n seleções independentes com probabilidade fixa p de “sucesso” (aqui, “ser defeituoso”), o número de sucessos X segue uma distribuição com a fórmula
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de exatamente k sucessos;
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k posições (combinações);
  • p^{k} é a probabilidade de obter k sucessos;
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de obter os n-k insucessos restantes.
  • Explicando \binom{n}{k}: por definição
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! significa n fatorial (produto 1\cdot2\cdot\ldots\cdot n). No nosso problema, \binom{10}{1}=10 e \binom{10}{0}=1.

Passo 3

Estratégia prática para calcular \Pr(X\ge2) de maneira simples em prova.
  • Calcular diretamente todas as \Pr(X=k) para k=2,\dots,10 dá trabalho. Melhor usar o complementar:
\Pr(X\ge2)=1-\Pr(X\le1)=1-\big(\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\big).
  • Então precisamos calcular \Pr(X=0) e \Pr(X=1) com a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Cálculo de \Pr(X=0).
  • Aplicando a fórmula com k=0:
\Pr(X=0)=\binom{10}{0}\,p^{0}\,(1-p)^{10}=(1)\cdot 1\cdot(1-p)^{10}=(1-p)^{10}.
  • Substituindo p=0,05 (portanto 1-p=0,95):
\Pr(X=0)=(0,95)^{10}.
  • Para calcular (0,95)^{10} sem mágica de calculadora, faz-se multiplicações sucessivas:
\begin{aligned} (0,95)^{2}&=0,9025,\\\ (0,95)^{3}&=0,857375,\\\ (0,95)^{4}&=0,81450625,\\\ (0,95)^{5}&=0,7737809375,\\\ (0,95)^{6}&=0,7350918906,\\\ (0,95)^{7}&=0,6983372961,\\\ (0,95)^{8}&=0,6634204313,\\\ (0,95)^{9}&=0,6302494097,\\\ (0,95)^{10}&=0,5987369392. \end{aligned}
  • Assim, numericamente,
\Pr(X=0)\approx 0,5987369392.

Passo 5

Cálculo de \Pr(X=1).
  • Aplicando a fórmula com k=1:
\Pr(X=1)=\binom{10}{1}\,p^{1}\,(1-p)^{9}.
  • Sabendo que \binom{10}{1}=10 e substituindo p=0,05 e (1-p)^{9}=(0,95)^{9} (valor do passo anterior),
\Pr(X=1)=10\cdot 0,05\cdot (0,95)^{9}.
  • Calculando numericamente: 10\cdot 0,05=0,5 e (0,95)^{9}\approx 0,6302494097, logo
\Pr(X=1)\approx 0,5\times 0,6302494097=0,31512470485.

Passo 6

Combinar os resultados e escrever a expressão final (a conta final será feita na seção de resposta).
  • Somando as probabilidades para 0 e 1:
\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\approx 0,5987369392+0,31512470485.
  • A probabilidade pedida é o complementar:
\Pr(X\ge2)=1-\big(\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\big).

Resposta

0,08613835595\\ \text{(aproximadamente)}

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