Em uma indústria que produz parafusos sabe-se que há uma probabilidade de 0,05 que um parafuso selecionado aleatoriamente seja defeituoso. Considere que:
(a) São selecionados 10 parafusos aleatoriamente, qual a probabilidade de ao menos dois serem defeituosos?
(a) São selecionados 10 parafusos aleatoriamente, qual a probabilidade de ao menos dois serem defeituosos?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
- Probabilidade de um parafuso ser defeituoso:
. - Número de parafusos selecionados:
. - A pergunta: calcular a probabilidade de que ao menos dois dos
parafusos sejam defeituosos, isto é, encontrar onde é o número de parafusos defeituosos na amostra.
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
- Quando fazemos
seleções independentes com probabilidade fixa de “sucesso” (aqui, “ser defeituoso”), o número de sucessos segue uma distribuição com a fórmula
onde:
-
é a probabilidade de exatamente sucessos; -
é o número de maneiras de escolher quais posições (combinações); -
é a probabilidade de obter sucessos; -
é a probabilidade de obter os insucessos restantes. - Explicando
: por definição
onde
significa
fatorial (produto
). No nosso problema,
e
.
Passo 3
Estratégia prática para calcular
de maneira simples em prova.
- Calcular diretamente todas as
para dá trabalho. Melhor usar o complementar:
- Então precisamos calcular
e com a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Cálculo de
.
- Aplicando a fórmula com
:
- Substituindo
(portanto ):
- Para calcular
sem mágica de calculadora, faz-se multiplicações sucessivas:
- Assim, numericamente,
Passo 5
Cálculo de
.
- Aplicando a fórmula com
:
- Sabendo que
e substituindo e (valor do passo anterior),
- Calculando numericamente:
e , logo
Passo 6
Combinar os resultados e escrever a expressão final (a conta final será feita na seção de resposta).
- Somando as probabilidades para
e :
- A probabilidade pedida é o complementar: