Em uma indústria química, considerou-se a produção de detergente como função do capital investido em equipamentos e estabeleceu-se P(q)=3 q^2, onde a produção P é dada em milhares de litros e o capital investido q é dado em milhares de reais.
Determine a taxa de variação média da produção para o intervalo 6 <= q <= 9. Qual é o seu significado gráfico?

Passo 1

O enunciado dá a produção de detergente como função do capital investido: P(q)=3q^2, com P em milhares de litros e q em milhares de reais. O objetivo é achar a taxa de variação média de P no intervalo 6<= q<=9. Para isso, vamos usar a definição de taxa média de variação, que é o coeficiente da reta secante entre os pontos q=6 e q=9.

Passo 2

Primeiro, calculamos os valores da produção nos extremos do intervalo:
P(6)=3cdot6^2=3cdot36=108,
P(9)=3cdot9^2=3cdot81=243

Passo 3

Em seguida, aplicamos a fórmula da taxa de variação média:
P(9)-P(6)9-6=243-1083=1353=45

Passo 4

Portanto, a taxa média de variação de P no intervalo é 45. Em unidades, isso significa 45 milhares de litros de detergente a mais para cada milhar de reais investido, em média, quando aumentamos q de 6 para 9.
Graficamente, esse valor corresponde ao coeficiente angular da reta secante ao gráfico de P(q) que passa pelos pontos (6,108) e (9,243). Essa reta secante indica a variação média do produto com o investimento nesse intervalo.

Resposta

A taxa média de variação é 45 (milhares de litros por milhar de reais). Graficamente, é o coeficiente angular da reta secante que une os pontos do gráfico de P(q) em q=6 e q=9.

Exercícios relacionados