Em uma indústria química, considerou-se a produção de detergente como função do capital investido em equipamentos e estabeleceu-se P(q)=3 q^2, onde a produção P é dada em milhares de litros e o capital investido q é dado em milhares de reais.
Determine a taxa de variação média da produção para o intervalo 3 <= q <= 5. Qual é o seu significado gráfico?

Passo 1

O enunciado dá a função de produção P(q)=3q^2, com P em milhares de litros e q em milhares de reais, e pede a taxa de variação média de P no intervalo 3<= q<=5. Vamos usar o conceito de diferença de valores sobre diferença de argumentos.

Passo 2

Calcular os valores de P nas extremidades do intervalo:
P(3)=3cdot3^2=27
P(5)=3cdot5^2=75

Passo 3

Aplicar a fórmula da taxa de variação média:
P(5)-P(3)5-3=75-272=482=24
Isso significa 24 milhares de litros por cada mil reais investidos.

Passo 4

Interpretar graficamente: essa taxa é a inclinação da reta secante que liga os pontos (3,27) e (5,75) no gráfico de P(q).

Resposta

A taxa de variação média é 24 milhares de litros por milhares de reais. Graficamente, é a inclinação da reta secante que une os pontos (3,27) e (5,75) no gráfico de P(q).

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