Nos exercícios a seguir, resolva as equações diferenciais separáveis.
d yx^2=(y+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
dyx^2 ;=;(y+3),dx
O conteúdo aqui é separação de variáveis: vamos reorganizar termos de y juntos com dy e termos de x juntos com dx, depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Começamos multiplicando ambos os lados por x^2 e dividindo por (y+3), de modo a isolar dy sobre função de y e dx sobre função de x. Obtemos
dy = x^2(y+3),dx Longrightarrow 1y+3,dy = x^2,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral 1y+3,dy ;=;integral x^2,dx Longrightarrow lnl|y+3r| = x^33 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponentiando ambos os lados, temos
l|y+3r| = e^,x^3/3 + C = e^C,e^x^3/3
Definindo C1= pm e^C como nova constante arbitrária, chega-se a
y+3 = C1,e^x^3/3 Longrightarrow y(x) = C1,e^x^3/3 - 3

Resposta

A solução geral da equação dyx^2=(y+3),dx é
boxedy(x) = C,e^,x^3/3 - 3,
onde C é constante real arbitrária.

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