Uma Indústria química dispõe de um reator químico isotérmico de mistura perfeita. Para o controle ótimo do processo, as funções de transferências que relacionam
com as entradas
é dada por:
, onde
. A análise dinâmica revelou que a concentração do componente A , nos seguintes intervalos de tempos:
, aumenta gradualmente, respectivamente, da seguinte forma:
. Obtenha as expressões para analisar o comportamento de
nos referidos intervalos de tempo.
Passo 1
O problema descreve um reator isotérmico de mistura perfeita em que a concentração de saída
é dada no domínio de Laplace por
com
,
(em minutos) e ganhos estáticos iguais a 1. As duas entradas em cada intervalo são rampas do tipo
. Vamos usar transformadas de Laplace e frações parciais para achar a resposta ao tempo das duas saídas parciais e depois somá-las.
Passo 2
Considere um sistema de primeira ordem
e uma entrada
Então
Fazendo frações parciais e invertendo, chega-se ao resultado padrão
Passo 3
Identificamos para cada ramo
:
Logo as respostas parciais são
Passo 4
Para o intervalo
(min), as duas rampas valem desde
, então
Reagrupando,
Passo 5
Para
, as rampas continuam mesmas, mas a resposta parte da condição em
. Defina
. Primeiro calcule
Chame esses valores de
e
. Então, aplicando de novo a fórmula de passo 2 com entrada
e condição inicial igual a
, obtém-se para
:
Somando
dá a expressão de
no segundo intervalo.
Resposta
Para
:
Para
, com
e
tem-se