Questão 2) Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98% da resposta a uma entrada em degrau. Supondo que o termômetro seja um sistema de primeira ordem, determine a constante de tempo. Se o termômetro for imerso em um banho, cuja temperatura muda linearmente a uma taxa de 10^{\circ} / \mathrm{min}, qual será o erro apresentado pelo termômetro?
\tau=15,4 \mathrm{~s}
aproximadamente 2,56^{\circ}

Passo 1

O enunciado diz que o termômetro é modelado como um sistema de primeira ordem com resposta ao degrau dada por
y(t)=K\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr),
onde K é o ganho estático (para um sensor de temperatura normalmente K=1) e \tau é a constante de tempo.
  1. Determinar \tau sabendo que em t=1 minuto o sistema atinge 98 % da resposta ao degrau.
  2. Calcular o erro em regime permanente quando a temperatura de entrada varia em rampa a 10^\circ\!/\min.

Passo 2

Para um passo unitário (ou ganho K=1), em t=60 s temos
y(60)=1 - e^{-60/\tau}=0{,}98.
Logo
e^{-60/\tau}=0{,}02.

Passo 3

Tirando o logaritmo,
- \frac{60}{\tau} = \ln(0{,}02) \quad\Longrightarrow\quad \tau = -\frac{60}{\ln(0{,}02)}\approx 15{,}34\\ \text{s}.

Passo 4

Quando a entrada é uma rampa de declividade b, ou seja
r(t)=b\,t,
o erro em regime permanente de um sistema de primeira ordem (modelo de sensor) é
e_{ss}=b\,\tau.

Passo 5

Aqui b=10^\circ\!/\min. Para usar unidades consistentes, convertemos \tau para minutos:
\tau = 15{,}34\\ \text{s} = \frac{15{,}34}{60}\\ \min \approx 0{,}2557\\ \min.
Portanto
e_{ss} = 10\;\frac{^\circ\!}{\min}\times 0{,}2557\\ \min \approx 2{,}56^\circ\text{C}.

Resposta

\tau = 15{,}4\\ \text{s}
Erro em regime permanente: e_{ss}\approx 2{,}56^\circ\text{C}.

Exercícios relacionados