A resposta dinâmica de um biorreator com tanque agitado pode ser representada pela função de transferência \frac{C^{\prime}(S)}{C_{F}^{\prime}(S)}=\frac{4}{2 S+1} onde C^{\prime} é a concentração de substrato de saida, \operatorname{mol} / \mathrm{L} e C_{F}^{\prime} é a concentração de substrato de alimentação, mol/L. Pede-se: a) Uma expressão para c^{\prime}(t) se c_{F}(t) for um pulso retangular com as seguintes características: c_{F}(t)=\left\{\begin{array}{l}2 \rightarrow t<0 \\\\ 4 \rightarrow 0 \leq t<2 \\\\ 2 \rightarrow 2 \leq t<\infty\end{array}\right., b) Quando ocorre e qual é o valor máximo \operatorname{de} c^{\prime}(t), c) Se o valor inicial para c(0)=1, quanto tempo demora para c(t) retornar a um valor de 1,05 depois de atingir seu valor máximo? Dado que: C_{F}^{\prime}(s)=\left\{\begin{array}{l}0 \rightarrow t<0 \\\\ 2 \rightarrow 0 \leq t<2 \\\\ 0 \rightarrow 2 \leq t \leq \infty\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta a função de transferência de um CSTR agitado
\frac{C'(s)}{C_F'(s)}=\frac{4}{2s+1}
onde C_F'(t) é um pulso retangular de amplitude 2 em 0\le t<2 e zero fora. Queremos (a) encontrar c'(t), a resposta ao pulso, (b) o instante e valor máximos de c'(t), (c) sabendo que a concentração absoluta c(t)=1+c'(t) e c(0)=1, quanto tempo leva após o pico para c(t) cair a 1{,}05.
Passo 2
Vou obter c'(t) usando a propriedade de superposição: a entrada é um degrau de altura 2 ativado em t=0 e desativado em t=2. Escrevo