Sabe-se que para um processo de mistura, a dinâmica é dada por: \tau d y / d t+y=K u, onde \tau=[V / F] ; K=1 ; y=C(t)-C_{R P} ; u=C_{i}(t)-C_{i R P}. Considere o caso onde, V=5\left[f t^{3}\right] ; F=1\left[f t^{3} / \min \right] e no estado estacionário, a concentração é 1,25\left[\mathrm{lbmol} / \mathrm{ft}^{3}\right]. Para uma variação súbita na concentração de entrada, até 1,75\left[\mathrm{lbmol} / \mathrm{ft}^{3}\right], qual o comportamento dinâmico para C(t)= ?.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de mistura cujo desvio em concentração é
y(t)=C(t)-C_{RP}
e a variação de entrada é
u(t)=C_i(t)-C_{iRP},
sendo a equação dinâmica de primeira ordem
\tau \,\frac{dy}{dt} + y = K\,u.
Aqui \tau=V/F, K=1. Dados: V=5,[f t^{3}], F=1,[f t^{3}/min], e no ponto de operação estacionário C_{RP}=C_{iRP}=1{,}25,[lbmol/f t^{3}]. A entrada sofre um degrau de 1{,}25\to1{,}75,[lbmol/f t^{3}], e queremos C(t).

Passo 2

Calculemos o tempo de resposta (constante de tempo) e o ganho estático:
\tau = \frac{V}{F} = \frac{5}{1} = 5\\ \text{min}, \qquad K = 1.
A amplitude do degrau em u vale
\Delta u = C_i(\infty)-C_{iRP} = 1{,}75 - 1{,}25 = 0{,}50.
Antes do passo, y(0)=0 (pois C(0)=C_{RP}).

Passo 3

Para um sistema de primeira ordem
\tau \frac{dy}{dt} + y = K\,\Delta u\cdot \mathbf{1}(t\ge0),
a solução é a soma da condição inicial e da resposta ao degrau:
y(t) = K\,\Delta u\Bigl(1 - e^{-t/\tau}\Bigr).

Passo 4

Substituindo K=1, \Delta u=0{,}5 e \tau=5:
y(t) = 0{,}5\bigl(1 - e^{-t/5}\bigr).
Voltando à concentração absoluta,
C(t) = C_{RP} + y(t) = 1{,}25 + 0{,}5\bigl(1 - e^{-t/5}\bigr) = 1{,}75 - 0{,}5\,e^{-t/5}.

Resposta

C(t) = 1{,}25 + 0{,}5\bigl(1 - e^{-t/5}\bigr) \quad[\text{lbmol}/\text{ft}^3].

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