Questão 3) Uma empresa do setor de alimentos lança um novo suco funcional no mercado. Para alavancar as vendas iniciais, a equipe de marketing decide investir \mathrm{R} \ 10.000,00$ em uma campanha digital e em pontos de venda. No entanto, observa-se que a resposta do mercado segue um comportamento dinâmico com atraso, pois os consumidores levam tempo para conhecer, experimentar e adotar o produto. A equipe de engenharia de produção propõe modelar as vendas
acumuladas \mathrm{V}(\mathrm{t}) com base em um sistema de 1{ }^{\mathrm{a}} ordem com atraso (FOPDT - First Order Plus Dead Time):
V(t)=K \times u(t-\theta) \times\left(1-e^{-\frac{(t-\theta)}{\omega}}\right), t \geq \theta
Onde:
\mathrm{K}=10000 representa o valor máximo esperado de vendas acumuladas (R$).
u(t-\theta) é o degrau unitário deslocado, representando o início da efetividade da campanha após o atraso.
\theta=2 dias é o atraso do mercado até perceber a propaganda.
\omega=5 dias é a constante de tempo do sistema, estimada a partir de dados de campanhas anteriores.
a) Determine o volume acumulado de vendas V(t) nos instantes t=5,10,15 e 20 dias.
b) Em que instante to volume acumulado de vendas atinge 95 \% do valor máximo esperado?
c) Esboce o gráfico de V(t) no intervalo 0<=t<=20 dias, destacando o efeito do atraso \theta
d) Interprete o significado prático de: o atraso \theta no contexto de adesão ao produto; A constante de tempo \omega no contexto de marketing.

Passo 1

O enunciado modela as vendas acumuladas V(t) por um sistema de primeira ordem com atraso (FOPDT):
V(t)=K\,u(t-\theta)\,\bigl(1-e^{-\frac{t-\theta}{\omega}}\bigr)\quad\text{para }t\ge\theta,
com K=10000 (R$), \theta=2 dias e \omega=5 dias.
Vamos em cada item: (a) calcular valores de V(t), (b) achar t tal que V(t)=0{,}95\,K, (c) esboçar o gráfico em [0,20] e (d) interpretar \theta e \omega.

Passo 2

Para t<2 dias tem V(t)=0. Para t\ge2:
V(t)=10000\bigl(1-e^{-\frac{t-2}{5}}\bigr).
Calculando:
\begin{aligned} V(5)&=10000\bigl(1-e^{-\,\frac{3}{5}}\bigr) =10000\bigl(1-e^{-0,6}\bigr) \approx10000\,(1-0,5488)=4512\,,\\\ V(10)&=10000\bigl(1-e^{-\,\frac{8}{5}}\bigr) =10000\bigl(1-e^{-1,6}\bigr) \approx10000\,(1-0,2019)=7981\,,\\\ V(15)&=10000\bigl(1-e^{-\,\frac{13}{5}}\bigr) =10000\bigl(1-e^{-2,6}\bigr) \approx10000\,(1-0,0743)=9257\,,\\\ V(20)&=10000\bigl(1-e^{-\,\frac{18}{5}}\bigr) =10000\bigl(1-e^{-3,6}\bigr) \approx10000\,(1-0,0273)=9727\,. \end{aligned}

Passo 3

Queremos V(t)=0{,}95\,K=9500. Então
1-e^{-\frac{t-2}{5}}=0,95 \quad\Longrightarrow\quad e^{-\frac{t-2}{5}}=0,05 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{t-2}{5}=\ln(0,05)
t-2=-5\,\ln(0,05) \quad\Longrightarrow\quad t=2-5\,\ln(0,05)\approx2-5(-2,9957)\approx16{,}98\text{ dias}.

Passo 4

No gráfico de V(t) em função de t de 0 a 20 dias:
  • Para 0\le t<2, V(t)=0.
  • Em t=2 inicia a subida exponencial: curva que parte de zero e vai assintoticamente a 10000.
  • Em t=7 dias (i.e.\ 2+\omega) atinge cerca de 63{,}2\% de K.
  • Em t\approx17 dias atinge 95\% de K.

Passo 5

Interpretações práticas:
  • \theta=2 dias é o tempo que o mercado leva para perceber a campanha e começar a comprar.
  • \omega=5 dias é a constante de tempo, ou seja, a rapidez com que as vendas avançam após o atraso (tempo para chegar a 63{,}2\% do valor final).

Resposta

a) V(5)\approx4512 R$, V(10)\approx7981 R$, V(15)\approx9257 R$, V(20)\approx9727 R$.
b) Aproximadamente t=16{,}98 dias.
c) Gráfico: V(t)=0 até t=2, depois curva exponencial crescente de assimptota em 10000, atingindo 63,2% em t=7 e 95% em t\approx17.
d) \theta é o atraso na adesão às compras; \omega é o tempo característico de resposta do mercado.

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