3- Em uma indústria de refrigerante a quantidade de refrigerante inserida em latas tem-se comportado como uma variável aleatória, com média de 350 ml e desvio padrão de 3 ml . Após alguns problemas na linha de produção, suspeita-se que houve alteração da média. Uma amostra de 20 latas acusou a média de 346 ml . Construa um I.C. para o novo valor da quantidade média de refrigerante em latas, com nível de confiança 95 \%, supondo que não tenha ocorrido alteração no desvio padrão.
Resposta: I.C. (344,68 ; 347,31)

Passo 1

O enunciado trata de construir um intervalo de confiança para a média populacional \mu do volume de refrigerante nas latas. Sabemos que o desvio padrão populacional é \sigma=3 ml (conhecido), a amostra tem tamanho n=20 e média amostral \bar x=346 ml. O nível de confiança pedido é de 95\%.

Passo 2

Como \sigma é conhecido e n é pequeno, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição normal padrão:
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde \alpha=0,05 e z_{\alpha/2} é o quantil de ordem 1-\tfrac{\alpha}{2}=0,975 da normal padrão, isto é, z_{0,025}=1,96.

Passo 3

Calculamos o erro-padrão da média e a margem de erro:
\text{erro-padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{20}} \approx 0,6708\text{ ml},ã
\text{margem de erro} = z_{0,025}\times 0,6708 =1,96\times 0,6708 \approx 1,314\text{ ml}.

Passo 4

Agora determinamos os limites do intervalo:
\text{Limite inferior} = \bar x - 1,314 = 346 - 1,314 = 344,686\text{ ml},
\text{Limite superior} = \bar x + 1,314 = 346 + 1,314 = 347,314\text{ ml}.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a média \mu é
(344,68;\;347,31)\text{ ml}.

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