Em uma indústria de rodas automotivas, 14,4 % das rodas produzidas apresentam algum tipo de deformidade
(a) Considerando um lote de 104 amostras (obtidas aleatoriamente), calcule a probabilidade de, no máximo, 18 rodas desse lote apresentarem deformidade.
(b) Considerando um lote de 104 amostras (obtidas aleatoriamente, calcule a probabilidade de, no mínimo, 15 rodas desse lote apresentarem deformidade.
(c) Calcule o número necessário de amostras em um lote de modo que a probabilidade de se obter uma proporção amostral no intervalo 14 %, 14,8 % seja de 90 %.
(d) Calcule o número necessário de amostras em um lote de modo que a probabilidade de se obter uma proporção amostral no intervalo 14 %, 14,8 % seja de 95 %.
(e) Comente sobre as diferenças obtidas entre os itens (c) e (d).

Passo 1

O enunciado dá que a proporção verdadeira de rodas com deformidade é p=0,144. Temos várias perguntas:
(a) Para um lote com n=104 amostras, calcular a probabilidade de, no máximo, 18 rodas apresentarem deformidade; isto é, calcular P(X\le 18) onde X\sim Binomial (n=104,p=0,144).
(b) Para o mesmo n=104, calcular a probabilidade de, no mínimo, 15 rodas apresentarem deformidade; isto é, P(X\ge 15) com X igual ao item (a).
(c) Determinar o tamanho n de amostra necessário para que a probabilidade de a proporção amostral \hat p cair no intervalo [0,14\%,\,0,148], isto é [0,14,\,0,148] (usei percentuais como frações decimais), seja 90\%.
(d) Mesmo que (c) mas com probabilidade 95\%.
(e) Comentar as diferenças entre (c) e (d).
Informações úteis que já extraí do enunciado: p=0,144 e, para (a) e (b), n=104.

Passo 2

Breve revisão da ideia que vamos usar (calma, devagar, como um amigo explicando).
  • A distribuição exata do número de rodas com defeito em n amostras é a Binomial: X\sim Binomial (n,p). A média e a variância dessa binomial são
\mathbb{E}[X]=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p).
Aqui, com n=104 e p=0,144 temos
np = 104\cdot 0,144 = 14,976,
np(1-p)=104\cdot 0,144\cdot(1-0,144)=104\cdot 0,123264=12,819456.
  • Quando n é razoavelmente grande e np e n(1-p) são maiores que aproximadamente 5, podemos aproximar a binomial por uma normal (Teorema do Limite Central / aproximação normal). Aqui np\approx 14,98 e n(1-p)\approx 104-14,976\approx 89, então a aproximação normal é adequada.
  • Na aproximação normal para uma binomial, usamos X\approx N(np,\;np(1-p)). É recomendável aplicar a correção de continuidade ao converter um evento discreto como X\le k para a versão contínua (somos cuidadosos para melhorar a precisão).
Vamos aplicar isso nos itens (a) e (b).

Passo 3

Cálculo do desvio-padrão que vamos usar na aproximação normal:
\sigma_X=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{12,819456}\approx 3,58.
(Usei aproximação decimal e arredondei o desvio-padrão para duas casas significativas, suficiente para as operações a seguir.)

Passo 4

Item (a): calcular P(X\le 18) com aproximação normal e correção de continuidade.
  • Com correção de continuidade, P(X\le 18) é aproximado por P(X\le 18{,}5) na normal.
  • Standardizamos para a variável normal padrão Z\sim N(0,1):
z=\frac{18{,}5 - np}{\sigma_X}=\frac{18{,}5 - 14{,}976}{3{,}58}=\frac{3{,}524}{3{,}58}\approx 0{,}98.
  • A probabilidade pedida é P(Z\le 0{,}98). Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora), \Phi(0{,}98)\approx 0{,}837.
Logo, pela aproximação normal com correção de continuidade,
P(X\le 18)\approx 0{,}837.

Passo 5

Item (b): calcular P(X\ge 15).
  • Escrevemos P(X\ge 15)=1-P(X\le 14). Com correção de continuidade, P(X\le 14) é aproximado por P(X\le 14{,}5).
  • Standardizando:
z=\frac{14{,}5 - np}{\sigma_X}=\frac{14{,}5 - 14{,}976}{3{,}58}=\frac{-0{,}476}{3{,}58}\approx -0{,}13.
  • Então P(X\le 14)\approx \Phi(-0{,}13)\approx 0{,}447. Portanto
P(X\ge 15)=1-P(X\le 14)\approx 1-0{,}447=0{,}553.
Dica prática: você também pode calcular diretamente P(X\ge 15)\approx P\!\big(Z\ge (14{,}5-np)/\sigma_X\big) e obter o mesmo resultado.

Passo 6

Agora itens (c) e (d): queremos escolher n tal que a proporção amostral \hat p=X/n caia no intervalo [0{,}14,\;0{,}148] com probabilidade desejada.
Teoria que usamos (passo-a-passo):
  • Para amostras grandes, a distribuição de \hat p é aproximada por normal:
\hat p \approx N\!\left(p,\; \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right).
Aqui p é a proporção verdadeira 0{,}144 e a raiz é o erro-padrão da proporção.
  • Se queremos P\big(|\hat p - p|\le m\big) = 1-\alpha, então para a normal isso se traduz em
P\left(-z_{1-\alpha/2}\le \frac{\hat p - p}{\text{SE}} \le z_{1-\alpha/2}\right)=1-\alpha,
onde \text{SE}=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} e z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão (por exemplo, z_{0{,}95}=1{,}645, z_{0{,}975}=1{,}96).
  • Rearranjando para n,
z_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = m \quad\Rightarrow\quad n = \frac{z_{1-\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{m^{2}}.
No nosso caso o intervalo [0{,}14,\;0{,}148] tem centro em 0{,}144 (justamente p) e metade da largura é
m=0{,}144-0{,}14=0{,}004 \quad(\text{o mesmo que }0{,}148-0{,}144).

Passo 7

Item (c): exigir probabilidade 90\% significa 1-\alpha=0{,}90, então \alpha=0{,}10 e z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}95}=1{,}645.
  • Usamos p(1-p)=0{,}144\cdot 0{,}856=0{,}123264.
  • Substituindo na fórmula:
n=\frac{1{,}645^{2}\cdot 0{,}123264}{0{,}004^{2}}.
  • Calculando numericamente:
1{,}645^{2}=2{,}706025,
2{,}706025\cdot 0{,}123264\approx 0{,}333555,
0{,}004^{2}=0{,}000016,
n\approx \frac{0{,}333555}{0{,}000016}\approx 20847{,}2.
  • Como n deve ser inteiro e queremos garantir pelo menos a probabilidade desejada, arredondamos para cima:
n=20\,848.

Passo 8

Item (d): agora queremos probabilidade 95\%. Então 1-\alpha=0{,}95, \alpha=0{,}05, e z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}=1{,}96.
  • Aplicando a mesma fórmula:
n=\frac{1{,}96^{2}\cdot 0{,}123264}{0{,}004^{2}}.
  • Calculando:
1{,}96^{2}=3{,}8416,
3{,}8416\cdot 0{,}123264\approx 0{,}4736,
n\approx \frac{0{,}4736}{0{,}000016}\approx 29\,597{,}5.
  • Arredondando para cima para garantir a probabilidade:
n=29\,598.

Passo 9

Item (e): interpretação e comentário (tom de amigo, sincero e encorajador).
  • Resultado numérico: para confiança 90\% precisamos de n=20\,848 e para 95\% precisamos de n=29\,598. Ou seja, aumentar o nível de confiança de 90\% para 95\% exige um aumento muito grande no tamanho da amostra (aqui aproximadamente 29\,598/20\,848\approx 1{,}42, um aumento de ~42% no n).
  • Intuição por trás disso: o fator que determina n é z_{1-\alpha/2}^{2}. Como 1{,}96/1{,}645\approx 1{,}19, ao quadrado dá cerca de 1{,}42. Assim, pedir maior confiança (um z maior) faz o n crescer aproximadamente pelo quadrado desse fator. Em palavras: mais confiança = intervalo de incerteza menor para o mesmo n? Não exatamente: com mais confiança, para manter o mesmo erro tolerado m precisamos de mais amostras.
  • Consequência prática: escolher entre 90\% e 95\% é uma troca entre custo (amostras, tempo) e segurança (confiança). Se cada amostra tiver custo, o salto de custo pode ser relevante — escolha considerando custo-benefício.

Resposta

(a) P(X\le 18)\approx 0{,}837.
(b) P(X\ge 15)\approx 0{,}553.
(c) n=20\,848.
(d) n=29\,598.
(e) Para passar de 90\% para 95\% de confiança o n aumenta cerca de 42\% (de 20\,848 para 29\,598); isso acontece porque n é proporcional a z_{1-\alpha/2}^{2}, e pedir maior confiança exige um z maior, que ao quadrado aumenta bastante o n.

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