Em uma indústria de rodas automotivas,
das rodas produzidas apresentam algum tipo de deformidade
(a) Considerando um lote de 104 amostras (obtidas aleatoriamente), calcule a probabilidade de, no máximo, 18 rodas desse lote apresentarem deformidade.
(b) Considerando um lote de 104 amostras (obtidas aleatoriamente, calcule a probabilidade de, no mínimo, 15 rodas desse lote apresentarem deformidade.
(c) Calcule o número necessário de amostras em um lote de modo que a probabilidade de se obter uma proporção amostral no intervalo
seja de
.
(d) Calcule o número necessário de amostras em um lote de modo que a probabilidade de se obter uma proporção amostral no intervalo
seja de
.
(e) Comente sobre as diferenças obtidas entre os itens (c) e (d).
(a) Considerando um lote de 104 amostras (obtidas aleatoriamente), calcule a probabilidade de, no máximo, 18 rodas desse lote apresentarem deformidade.
(b) Considerando um lote de 104 amostras (obtidas aleatoriamente, calcule a probabilidade de, no mínimo, 15 rodas desse lote apresentarem deformidade.
Passo 1
O enunciado dá que a proporção verdadeira de rodas com deformidade é
. Temos várias perguntas:
(a) Para um lote com
amostras, calcular a probabilidade de, no máximo,
rodas apresentarem deformidade; isto é, calcular
onde
Binomial
.
(b) Para o mesmo
, calcular a probabilidade de, no mínimo,
rodas apresentarem deformidade; isto é,
com
igual ao item (a).
(c) Determinar o tamanho
de amostra necessário para que a probabilidade de a proporção amostral
cair no intervalo
, isto é
(usei percentuais como frações decimais), seja
.
(d) Mesmo que (c) mas com probabilidade
.
(e) Comentar as diferenças entre (c) e (d).
Informações úteis que já extraí do enunciado:
e, para (a) e (b),
.
Passo 2
Breve revisão da ideia que vamos usar (calma, devagar, como um amigo explicando).
- A distribuição exata do número de rodas com defeito em
amostras é a Binomial: Binomial . A média e a variância dessa binomial são
Aqui, com
e
temos
- Quando
é razoavelmente grande e e são maiores que aproximadamente , podemos aproximar a binomial por uma normal (Teorema do Limite Central / aproximação normal). Aqui e , então a aproximação normal é adequada. - Na aproximação normal para uma binomial, usamos
. É recomendável aplicar a correção de continuidade ao converter um evento discreto como para a versão contínua (somos cuidadosos para melhorar a precisão).
Vamos aplicar isso nos itens (a) e (b).
Passo 3
Cálculo do desvio-padrão que vamos usar na aproximação normal:
(Usei aproximação decimal e arredondei o desvio-padrão para duas casas significativas, suficiente para as operações a seguir.)
Passo 4
Item (a): calcular
com aproximação normal e correção de continuidade.
- Com correção de continuidade,
é aproximado por na normal. - Standardizamos para a variável normal padrão
:
- A probabilidade pedida é
. Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora), .
Logo, pela aproximação normal com correção de continuidade,
Passo 5
Item (b): calcular
.
- Escrevemos
. Com correção de continuidade, é aproximado por . - Standardizando:
- Então
. Portanto
Dica prática: você também pode calcular diretamente
e obter o mesmo resultado.
Passo 6
Agora itens (c) e (d): queremos escolher
tal que a proporção amostral
caia no intervalo
com probabilidade desejada.
Teoria que usamos (passo-a-passo):
- Para amostras grandes, a distribuição de
é aproximada por normal:
Aqui
é a proporção verdadeira
e a raiz é o erro-padrão da proporção.
- Se queremos
, então para a normal isso se traduz em
onde
e
é o quantil da normal padrão (por exemplo,
,
).
- Rearranjando para
,
No nosso caso o intervalo
tem centro em
(justamente
) e metade da largura é
Passo 7
Item (c): exigir probabilidade
significa
, então
e
.
- Usamos
. - Substituindo na fórmula:
- Calculando numericamente:
- Como
deve ser inteiro e queremos garantir pelo menos a probabilidade desejada, arredondamos para cima:
Passo 8
Item (d): agora queremos probabilidade
. Então
,
, e
.
- Aplicando a mesma fórmula:
- Calculando:
- Arredondando para cima para garantir a probabilidade:
Passo 9
Item (e): interpretação e comentário (tom de amigo, sincero e encorajador).
- Resultado numérico: para confiança
precisamos de e para precisamos de . Ou seja, aumentar o nível de confiança de para exige um aumento muito grande no tamanho da amostra (aqui aproximadamente , um aumento de ~42% no ). - Intuição por trás disso: o fator que determina
é . Como , ao quadrado dá cerca de . Assim, pedir maior confiança (um maior) faz o crescer aproximadamente pelo quadrado desse fator. Em palavras: mais confiança = intervalo de incerteza menor para o mesmo ? Não exatamente: com mais confiança, para manter o mesmo erro tolerado precisamos de mais amostras. - Consequência prática: escolher entre
e é uma troca entre custo (amostras, tempo) e segurança (confiança). Se cada amostra tiver custo, o salto de custo pode ser relevante — escolha considerando custo-benefício.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) Para passar de para
de confiança o
aumenta cerca de
(de
para
); isso acontece porque
é proporcional a
, e pedir maior confiança exige um
maior, que ao quadrado aumenta bastante o
.
(b)
(c)
(d)
(e) Para passar de