O tempo necessário para manutenção de um equipamento pode ser modelado por uma distribuição normal de média igual a 11 dias e desvio igual a 4 dias. Diante disso:
Calcule a probabilidade de o tempo médio de manutenção de 5 equipamentos ser superior a 8 dias.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que segue.
Informação 1: O tempo necessário para manutenção de um equipamento segue uma distribuição normal com média igual a 11 dias e desvio padrão igual a 4 dias.
Informação 2: Vamos considerar uma amostra de 5 equipamentos, ou seja, n=5.
Pergunta: Calcular a probabilidade de o tempo médio de manutenção desses 5 equipamentos ser superior a 8 dias, ou seja, calcular \mathbb{P}(\overline{X}>8), onde \overline{X} é a média amostral dos 5 tempos.
Passo 2
Entendendo a distribuição da média amostral (a parte teórica que você precisa dominar).
Quando a variável individual X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} de uma amostra de tamanho n também é exatamente normal (não é só aproximação).
As fórmulas importantes são:
\text{média de }\overline{X} = \mu_{\overline{X}} = \mu,é
\text{desvio padrão de }\overline{X} = \sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.ã
Aqui cada símbolo significa:
\mu: média da população (aqui \mu=11).
\sigma: desvio padrão da população (aqui \sigma=4).
n: tamanho da amostra (aqui n=5).
\overline{X}: média da amostra de tamanho n.
Como a população é normal, podemos trabalhar com \overline{X} como uma variável normal com média 11 e desvio padrão \dfrac{4}{\sqrt{5}}.
Passo 3
Escrevendo a probabilidade que queremos e padronizando (transformar para a normal padrão).
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente 0{,}9532, ou 95{,}32\%.
Passo 5
Interpretação curta e dica para prova.
Interpretação: existe alta probabilidade (cerca de 95{,}3\%) de que a média dos tempos de manutenção de 5 equipamentos seja maior que 8 dias, dado que a média populacional é 11 dias.
Dica prática: em provas, calcule primeiro o desvio padrão da média \sigma/\sqrt{n}, padronize e use a tabela da normal; se o z for negativo, use a simetria para transformar em \Phi(+|z|).