O tempo necessário para manutenção de um equipamento pode ser modelado por uma distribuição normal de média igual a 11 dias e desvio igual a 4 dias. Diante disso:
Calcule a probabilidade de o tempo médio de manutenção de 5 equipamentos ser superior a 8 dias.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que segue.
  • Informação 1: O tempo necessário para manutenção de um equipamento segue uma distribuição normal com média igual a 11 dias e desvio padrão igual a 4 dias.
  • Informação 2: Vamos considerar uma amostra de 5 equipamentos, ou seja, n=5.
  • Pergunta: Calcular a probabilidade de o tempo médio de manutenção desses 5 equipamentos ser superior a 8 dias, ou seja, calcular \mathbb{P}(\overline{X}>8), onde \overline{X} é a média amostral dos 5 tempos.

Passo 2

Entendendo a distribuição da média amostral (a parte teórica que você precisa dominar).
  • Quando a variável individual X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} de uma amostra de tamanho n também é exatamente normal (não é só aproximação).
  • As fórmulas importantes são:
\text{média de }\overline{X} = \mu_{\overline{X}} = \mu,é
\text{desvio padrão de }\overline{X} = \sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.ã
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \mu: média da população (aqui \mu=11).
    • \sigma: desvio padrão da população (aqui \sigma=4).
    • n: tamanho da amostra (aqui n=5).
    • \overline{X}: média da amostra de tamanho n.
  • Como a população é normal, podemos trabalhar com \overline{X} como uma variável normal com média 11 e desvio padrão \dfrac{4}{\sqrt{5}}.

Passo 3

Escrevendo a probabilidade que queremos e padronizando (transformar para a normal padrão).
  • Queremos
\mathbb{P}(\overline{X}>8).
  • Usando a distribuição de \overline{X}:
\overline{X}\sim N\!\left(\mu_{\overline{X}}=11,\\ \sigma_{\overline{X}}=\frac{4}{\sqrt{5}}\right).
  • Padronizamos para a normal padrão Z\sim N(0,1) com a transformação
Z=\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}.
  • Aplicando para o ponto 8:
z=\frac{8-11}{4/\sqrt{5}}=\frac{-3}{4/\sqrt{5}}=-\frac{3\sqrt{5}}{4}.
  • Calculando numericamente:
\sqrt{5}\approx 2{,}23607\quad\Rightarrow\quad -\frac{3\sqrt{5}}{4}\approx -\frac{3\cdot 2{,}23607}{4}\approx -\frac{6{,}7082}{4}\approx -1{,}67705.
  • Assim o valor padronizado é aproximadamente z\approx -1{,}677.

Passo 4

Converter a probabilidade para a tabela da normal padrão e usar simetria.
  • Temos
\mathbb{P}(\overline{X}>8)=\mathbb{P}\!\left(Z>\frac{8-11}{4/\sqrt{5}}\right)=\mathbb{P}(Z>-1{,}677).
  • Usando a simetria da normal padrão: \mathbb{P}(Z>-a)=\Phi(a), onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Portanto
\mathbb{P}(Z>-1{,}677)=\Phi(1{,}677).
  • Agora consultamos a tabela da normal padrão (ou usamos aproximação linear entre valores da tabela). Sabendo que
\Phi(1{,}67)=0{,}9525\quad\text{e}\quad \Phi(1{,}68)=0{,}9535,
fazemos uma interpolação para 1{,}677 (que está 0{,}007 acima de 1{,}67, i.e., 0{,}7 do caminho até 1{,}68):
\Phi(1{,}677)\approx 0{,}9525 + 0{,}7\cdot(0{,}9535-0{,}9525)=0{,}9525+0{,}7\cdot 0{,}0010\approx 0{,}9532.
  • Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente 0{,}9532, ou 95{,}32\%.

Passo 5

Interpretação curta e dica para prova.
  • Interpretação: existe alta probabilidade (cerca de 95{,}3\%) de que a média dos tempos de manutenção de 5 equipamentos seja maior que 8 dias, dado que a média populacional é 11 dias.
  • Dica prática: em provas, calcule primeiro o desvio padrão da média \sigma/\sqrt{n}, padronize e use a tabela da normal; se o z for negativo, use a simetria para transformar em \Phi(+|z|).

Resposta

0,9532

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