É sabido que um processo de manufatura de freios automotivos apresenta um desvio padrão populacional de 2 gramas no que diz respeito ao peso dos freios. Deseja-se estimar o peso médio dos freios produzidos a partir de um conjunto de amostras obtidas desse processo. Diante disso:
(a) Determine o número de amostras para se obter uma estimativa intervalar com uma margem de erro de 0,5 grama e nível de confiança de 97 %.
(b) Considere agora que o número disponível de amostras é a metade do número de amostras obtido no item (a). Nessa situação, qual é o nível de confiança necessário para se obter uma estimativa intervalar com a mesma margem de erro estabelecida no item (a)?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá algumas informações. Vou listar direitinho para ficar claro.
  • Perguntas:
    (a) Determinar o número de amostras necessárias para obter uma estimativa do peso médio com margem de erro de 0,5 grama e nível de confiança de 97\%.
    (b) Agora supondo que só há metade do número de amostras obtido no item (a), determinar qual é o nível de confiança (percentual) que permite manter a mesma margem de erro 0,5 grama.
  • Dados fornecidos:
    \sigma = 2 gramas (desvio padrão populacional conhecido).
    Margem de erro desejada E = 0,5 grama.
    Nível de confiança pedido no item (a): 97\%.
Fim da identificação do que é pedido e do que temos. Agora vamos às fórmulas e cálculos passo a passo — devagarinho, sem pânico.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
A estimativa intervalar para a média quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido tem a forma
\bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar X é a média amostral (não precisamos de um valor numérico de \bar X para projetar o tamanho da amostra).
  • z_{\alpha/2} é o quantil crítico da distribuição normal padrão que deixa área \alpha/2 na cauda superior (ou seja, \Pr(Z\le z_{\alpha/2}) = 1-\alpha/2).
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido.
  • n é o tamanho da amostra (o que queremos achar no item (a)).
  • A margem de erro E (metade da largura do intervalo de confiança) é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Essa fórmula é central: ela diz quanto, em média, o intervalo “pula” para cada lado da média amostral. Para fixar E e \sigma e escolher um nível de confiança (logo um z_{\alpha/2}), podemos resolver para n.

Passo 3

Derivação da fórmula para o tamanho de amostra n:
A partir de
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
isolamos \sqrt{n}:
\sqrt{n} = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E}.
Elevando ao quadrado:
n = \left(z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E}\right)^{2}.
Observação prática: depois de calcular o valor numérico de n devemos sempre arredondar para cima (ceiling), porque n deve ser inteiro e se pegarmos valor não inteiro teremos margem de erro maior que a desejada se arredondarmos para baixo.
Agora aplicamos ao item (a).

Passo 4

Cálculo do item (a) — encontrar n para nível de confiança 97\%:
  1. Calcular \alpha e \alpha/2:
\alpha = 1 - 0,97 = 0,03,\qquad \alpha/2 = 0,015.
  1. Encontrar z_{\alpha/2} tal que \Pr(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 0,985.
    Usando tabela da normal padrão ou calculadora inversa, obtemos
z_{\alpha/2} = z_{0,015} \approx 2,1701.
(Em palavras: o valor crítico para 97% de confiança é aproximadamente 2,1701.)
  1. Aplicar a fórmula de n:
n = \left(z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E}\right)^{2} = \left(2,1701\cdot\frac{2}{0,5}\right)^{2}.
Calcule passo a passo:
2,1701\cdot 2 = 4,3402,
\frac{4,3402}{0,5} = 8,6804,
n = (8,6804)^{2} \approx 75,34934416.
Como n deve ser inteiro e precisamos garantir que a margem de erro não exceda 0,5, arredondamos para cima:
n = 76.
Portanto, para ter margem de erro 0,5 g com 97\% de confiança e \sigma=2 g, precisamos de 76 amostras.

Passo 5

Cálculo do item (b) — metade das amostras: qual nível de confiança dá a mesma margem de erro?
  1. Metade do n do item (a):
n' = \frac{76}{2} = 38.
  1. Agora queremos saber qual z' (o novo crítico) satisfaz
E = z'\,\frac{\sigma}{\sqrt{n'}}.
Isolando z':
z' = E\,\frac{\sqrt{n'}}{\sigma}.
  1. Substituindo os valores:
\sqrt{n'} = \sqrt{38} \approx 6,1644,
z' = 0,5\cdot\frac{6,1644}{2} = 0,5\cdot 3,0822 = 1,5411\quad(\text{aprox.}).
Então o novo valor crítico é z' \approx 1,5411.

Passo 6

Converter z' em nível de confiança:
Para um intervalo bilateral, o nível de confiança é
\text{confiança} = 2\,\Phi(z') - 1,ç
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Procurando \Phi(1,5411) em tabela ou calculadora, obtemos aproximadamente
\Phi(1,5411) \approx 0,938332.
Logo
\text{confiança} = 2\cdot 0,938332 - 1 = 0,876664 \approx 0,8766.ç
Convertendo para percentual:
\text{nível de confiança} \approx 87,66\%.íç
Interpretação rápida: com metade das amostras (38), mantendo \sigma=2 e margem de erro E=0,5, o intervalo resultante teria cerca de 87,66\% de confiança — bem menor que os 97\% originais.

Resposta

(a) n = 76
(b) nível de confiança \approx 87,66\%

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