É sabido que um processo de manufatura de freios automotivos apresenta um desvio padrão populacional de 2 gramas no que diz respeito ao peso dos freios. Deseja-se estimar o peso médio dos freios produzidos a partir de um conjunto de amostras obtidas desse processo. Diante disso:
(a) Determine o número de amostras para se obter uma estimativa intervalar com uma margem de erro de 0,5 grama e nível de confiança de
.
(b) Considere agora que o número disponível de amostras é a metade do número de amostras obtido no item (a). Nessa situação, qual é o nível de confiança necessário para se obter uma estimativa intervalar com a mesma margem de erro estabelecida no item (a)?
(a) Determine o número de amostras para se obter uma estimativa intervalar com uma margem de erro de 0,5 grama e nível de confiança de
(b) Considere agora que o número disponível de amostras é a metade do número de amostras obtido no item (a). Nessa situação, qual é o nível de confiança necessário para se obter uma estimativa intervalar com a mesma margem de erro estabelecida no item (a)?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá algumas informações. Vou listar direitinho para ficar claro.
-
Perguntas:
(a) Determinar o número de amostras necessárias para obter uma estimativa do peso médio com margem de erro degrama e nível de confiança de .
(b) Agora supondo que só há metade do número de amostras obtido no item (a), determinar qual é o nível de confiança (percentual) que permite manter a mesma margem de errograma. -
Dados fornecidos:
gramas (desvio padrão populacional conhecido).
Margem de erro desejadagrama.
Nível de confiança pedido no item (a):.
Fim da identificação do que é pedido e do que temos. Agora vamos às fórmulas e cálculos passo a passo — devagarinho, sem pânico.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
A estimativa intervalar para a média quando o desvio padrão populacional
é conhecido tem a forma
Aqui:
-
é a média amostral (não precisamos de um valor numérico de para projetar o tamanho da amostra). -
é o quantil crítico da distribuição normal padrão que deixa área na cauda superior (ou seja, ). -
é o desvio padrão populacional conhecido. -
é o tamanho da amostra (o que queremos achar no item (a)). - A margem de erro
(metade da largura do intervalo de confiança) é
Essa fórmula é central: ela diz quanto, em média, o intervalo “pula” para cada lado da média amostral. Para fixar
e
e escolher um nível de confiança (logo um
), podemos resolver para
.
Passo 3
Derivação da fórmula para o tamanho de amostra
:
A partir de
isolamos
:
Elevando ao quadrado:
Observação prática: depois de calcular o valor numérico de
devemos sempre arredondar para cima (ceiling), porque
deve ser inteiro e se pegarmos valor não inteiro teremos margem de erro maior que a desejada se arredondarmos para baixo.
Agora aplicamos ao item (a).
Passo 4
Cálculo do item (a) — encontrar
para nível de confiança
:
- Calcular
e :
- Encontrar
tal que .
Usando tabela da normal padrão ou calculadora inversa, obtemos
(Em palavras: o valor crítico para 97% de confiança é aproximadamente
.)
- Aplicar a fórmula de
:
Calcule passo a passo:
Como
deve ser inteiro e precisamos garantir que a margem de erro não exceda
, arredondamos para cima:
Portanto, para ter margem de erro
g com
de confiança e
g, precisamos de
amostras.
Passo 5
Cálculo do item (b) — metade das amostras: qual nível de confiança dá a mesma margem de erro?
- Metade do
do item (a):
- Agora queremos saber qual
(o novo crítico) satisfaz
Isolando
:
- Substituindo os valores:
Então o novo valor crítico é
.
Passo 6
Converter
em nível de confiança:
Para um intervalo bilateral, o nível de confiança é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Procurando
em tabela ou calculadora, obtemos aproximadamente
Logo
Convertendo para percentual:
Interpretação rápida: com metade das amostras (38), mantendo
e margem de erro
, o intervalo resultante teria cerca de
de confiança — bem menor que os
originais.
Resposta
(a)
(b) nível de confiança