Em uma indústria têxtil, o preço de um tipo de toalha é dado por \mathrm{p}=-0,001 \mathrm{q}+10, onde 0 \leq \mathrm{q} \leq 10.000.
a) Que preço deve ser cobrado para maximizar a receita semanal?
b) Represente graficamente a função Receita.

Passo 1

O enunciado dá o preço unitário \mathrm{p}(q) = -0,001\,q + 10
para 0 \leq q \leq 10000.
Queremos maximizar a receita semanal, que é \mathrm{R}(q) = \mathrm{p}(q)\,q.

Passo 2

Escrevendo a receita em função de q:
\mathrm{R}(q) = (-0,001\,q + 10)\,q = -0,001\,q^2 + 10\,q.
Isso é uma parábola voltada para baixo, pois o coeficiente de q^2 é negativo.

Passo 3

Para achar o vértice da parábola (onde a receita é máxima), usamos
q^* = -\frac{b}{2a},
para a=-0,001 e b=10. Assim,
q^* = -\frac{10}{2\cdot(-0,001)} = 5000.

Passo 4

O preço que maximiza a receita é
\mathrm{p}^* = -0,001\cdot 5000 + 10 = -5 + 10 = 5.

Passo 5

Gráfico de \mathrm{R}(q) = -0,001\,q^2 + 10q:
  • Intercepta nos pontos q=0 e q=10000, onde \mathrm{R}=0.
  • Vértice em (q^*,\mathrm{R}^*)=(5000,\,\mathrm{R}(5000)), com
\mathrm{R}(5000) = -0,001\cdot(5000)^2 + 10\cdot5000 = 25000.
Portanto, é uma parábola com zero na origem e em q=10000, com pico em (5000,25000).

Resposta

a) O preço deve ser \mathbf{5}.
b) A função receita é a parábola
\mathrm{R}(q) = -0,001\,q^2 + 10q,
com zeros em q=0 e q=10000 e vértice em (5000,25000).

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