Em uma fábrica de ventiladores, a receita na venda de um tipo de ventilador é dado por
, onde
. Suponha que o custo para a produção dos ventiladores seja dada por
.
a) Determine a função Lucro.
b) Obtenha a quantidade de ventiladores que deve ser produzida ou vendida para que o Lucro seja máximo.
c) Determine o Lucro máximo
d) Represente graficamente a função Lucro
a) Determine a função Lucro.
b) Obtenha a quantidade de ventiladores que deve ser produzida ou vendida para que o Lucro seja máximo.
c) Determine o Lucro máximo
d) Represente graficamente a função Lucro
Passo 1
O enunciado dá a receita
e o custo
, para
. Queremos:
– a) a função Lucro ;
– b) a quantidade que maximiza
;
– c) o valor máximo de ;
– d) esboçar graficamente .
O conteúdo é otimização de função quadrática, usando derivada para achar vértice.
– a) a função Lucro
– b) a quantidade
– c) o valor máximo de
– d) esboçar graficamente
O conteúdo é otimização de função quadrática, usando derivada para achar vértice.
Passo 2
A função Lucro é definida por
Logo,
Passo 3
Para maximizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Resolver
dá
Como
, este ponto é de máximo.
Passo 4
O Lucro máximo é
Passo 5
O gráfico de
é uma parábola voltada para baixo, com:
– vértice em ;
– zeros (raízes) da função em tais que
, resolvendo
obtém-se
e
.
Assim, o esboço tem interceptos em e
, sobe até o vértice e depois desce, tudo dentro de
.
– vértice em
– zeros (raízes) da função em
Assim, o esboço tem interceptos em
Resposta
a)
b) .
c)
d) Gráfico: parábola com concavidade para baixo, zeros em e
, vértice em
.
b)
c)
d) Gráfico: parábola com concavidade para baixo, zeros em