Em uma fábrica de ventiladores, a receita na venda de um tipo de ventilador é dado por R(q)=-2 q^{2}+ 800 q, onde 0 \leq q \leq 400. Suponha que o custo para a produção dos ventiladores seja dada por C(q)= 200 q+25.000.
a) Determine a função Lucro.
b) Obtenha a quantidade de ventiladores que deve ser produzida ou vendida para que o Lucro seja máximo.
c) Determine o Lucro máximo
d) Represente graficamente a função Lucro

Passo 1

O enunciado dá a receita R(q) = -2q^{2} + 800q e o custo C(q) = 200q + 25\,000, para 0 \le q \le 400. Queremos:
– a) a função Lucro L(q);
– b) a quantidade q que maximiza L;
– c) o valor máximo de L;
– d) esboçar graficamente L(q).
O conteúdo é otimização de função quadrática, usando derivada para achar vértice.

Passo 2

A função Lucro é definida por
L(q) \;=\; R(q)\;-\;C(q)
Logo,
L(q) \;=\; \bigl(-2q^{2}+800q\bigr)\;-\;(200q+25\,000) \;=\;-2q^{2} + (800-200)q \;-\;25\,000
\boxed{L(q) = -2q^{2} + 600q - 25\,000.}

Passo 3

Para maximizar L(q), calculamos a derivada e igualamos a zero:
L'(q) = \frac{d}{dq}\bigl(-2q^{2}+600q-25\,000\bigr) = -4q + 600.
Resolver -4q + 600 = 0
q^{*} = \frac{600}{4} = 150.
Como L''(q) = -4 <0, este ponto é de máximo.

Passo 4

O Lucro máximo é
L(150) = -2\,(150)^{2} + 600\,(150) - 25\,000 = -2\cdot22\,500 + 90\,000 - 25\,000 = -45\,000 + 90\,000 - 25\,000 = 20\,000.

Passo 5

O gráfico de L(q) é uma parábola voltada para baixo, com:
– vértice em \bigl(150,\;20\,000\bigr);
– zeros (raízes) da função em q tais que L(q)=0, resolvendo -2q^{2}+600q-25\,000=0 obtém-se q=50 e q=250.
Assim, o esboço tem interceptos em (50,0) e (250,0), sobe até o vértice e depois desce, tudo dentro de 0\le q\le 400.

Resposta

a) \displaystyle L(q) = -2q^{2} + 600q - 25\,000.
b) \displaystyle q = 150.
c) \displaystyle L_{\max} = 20\,000.
d) Gráfico: parábola com concavidade para baixo, zeros em (50,0) e (250,0), vértice em (150,20\,000).

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