O proprietário de uma barbearia verificou que, quandoo preço do corte de cabelo era \ 20,00 , o número de clientes era 100 por semana. Verificou também que, quando o preço passava paraúéç$15,00$, o número de clientes dobrava.
a) Obtenha a função de demanda admitindo seu gráfico linear
b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita semanal?

Passo 1

O enunciado dá duas observações de preço p e número de clientes q por semana:
quando p=\$20,00, q=100;
quando p=\$15,00, q=200.
Como o gráfico de demanda é linear, vamos modelar q(p) por uma reta do tipo
q(p)=mp+b.

Passo 2

Para determinar o coeficiente angular m, usamos a fórmula
m=\frac{q_2-q_1}{p_2-p_1} =\frac{200-100}{15-20} =\frac{100}{-5} =-20.
Agora achamos o coeficiente linear b substituindo um dos pontos, por exemplo (p_1,q_1)=(20,100):
100 = (-20)\cdot 20 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 100 + 400 = 500.
Logo a função de demanda é
\boxed{q(p) = -20\,p + 500.}

Passo 3

A receita semanal R é dada por preço vezes quantidade:
R(p) = p \cdot q(p) = p\bigl(-20p + 500\bigr) = -20\,p^2 + 500\,p.

Passo 4

Para maximizar R(p), calculamos a derivada e igualamos a zero:
R'(p) = -40\,p + 500 = 0 \quad\Longrightarrow\quad p^* = \frac{500}{40} = 12{,}5.
Como R''(p) = -40<0, esse ponto é máximo.

Resposta

a) q(p) = -20\,p + 500.
b) O preço que maximiza a receita é \$12,50.

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