Um industrial afirma que pelo menos 20 \% do público prefere seu produto. Uma amostra de 100 pessoas é utilizada para testar esta afirmação. Considerando \alpha=0.05, qual deve ser o tamanho mínimo da amostra, para se poder refutar corretamente a afirmação, com erro de 3 \% ?

Passo 1

O enunciado quer testar a hipótese de que a proporção do público que prefere o produto é pelo menos 20\% (ou seja, p_0=0,2), usando nível de significância \alpha=0,05 e tolerância de erro amostral de 3\% (ou seja, E=0,03). Precisamos calcular o tamanho mínimo da amostra n que garante essa precisão.

Passo 2

Para que a margem de erro na estimativa de proporção seja E com confiabilidade 1-\alpha, usamos a fórmula
E \;=\; z_{1-\frac\alpha2}\,\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}
e isolamos n:
n \;=\;\frac{\bigl(z_{1-\frac\alpha2}\bigr)^2\,p_0(1-p_0)}{E^2}\,.

Passo 3

Sabendo que z_{1-\frac\alpha2}=z_{0,975}\approx1,96, p_0=0,2 e E=0,03, temos
n \;=\;\frac{(1,96)^2\cdot0,2\cdot0,8}{(0,03)^2} \;=\;\frac{3,8416\cdot0,16}{0,0009} \;\approx\;683{,}0.

Passo 4

Como não podemos ter fração de indivíduo, arredondamos para cima e obtemos
n=684.

Resposta

O tamanho mínimo da amostra deve ser 684.

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