Quantos elementos devem ter a amostra para estimar a proporção das 3.000 empresas que optaram por um novo tipo de imposto, considerando \alpha=5 \% e erro máximo de 4 \% ?

Passo 1

O enunciado pede o tamanho da amostra para estimar a proporção de empresas que adotaram um novo tipo de imposto, numa população finita de N=3000 empresas, com nível de confiança de 95\% (isto é, \alpha=5\%) e erro máximo admissível de E=4\%. O conteúdo é estatística inferencial, mais precisamente amostragem para proporção com correção para população finita.

Passo 2

Como não temos estimativa prévia da proporção real p, usamos o caso mais conservador p=0{,}5, o que maximiza p(1-p)=0{,}25. O complemento será q=1-p=0{,}5.
Para nível de confiança de 95\%, a pontuação crítica da distribuição normal é
z = 1{,}96.

Passo 3

O tamanho de amostra inicial sem levar em conta o efeito da população finita é
n_0 = \frac{z^2\,p\,q}{E^2} = \frac{(1{,}96)^2 \times 0{,}5 \times 0{,}5}{(0{,}04)^2} = \frac{3{,}8416 \times 0{,}25}{0{,}0016} = \frac{0{,}9604}{0{,}0016} \approx 600{,}25.
Como a população é finita ( N=3000), aplicamos a correção de população finita:
n = \frac{N\,n_0}{n_0 + N - 1} = \frac{3000 \times 600{,}25}{600{,}25 + 3000 - 1} = \frac{1\,800\,750}{3\,599{,}25} \approx 500{,}21.

Passo 4

Arredondamos sempre para cima, garantindo o erro máximo desejado, obtendo
n = 501.

Resposta

Para estimar a proporção com \alpha=5\% e erro de 4\%, são 501 elementos na amostra.

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