1. Um indutor de 0,25 \mathrm{H} e um capacitor de 50 microFaraday são conectados em série a uma fonte de 127 V e 60 Hz e uma resistência de 10 Ohms.
b) Inserido este indutor em paralelo com o capacitor e conectando este arranjo com a resistência em série com a fonte qual seria a impedância total equivalente aproximadamente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Valores fornecidos:
    • Indutor: L=0,25\\ \mathrm{H}.
    • Capacitor: C=50\\ \mu\mathrm{F}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
    • Fonte: tensão nominal 127\\ \mathrm{V} e frequência f=60\\ \mathrm{Hz}. (A tensão não é necessária para a impedância, mas foi dada.)
    • Resistência em série: R=10\\ \Omega.
  • Configuração pedida (item b):
    • O indutor e o capacitor são colocados em paralelo entre si.
    • Esse conjunto paralelo é ligado em série com a resistência e com a fonte.
    • Pergunta: qual é a impedância total equivalente aproximada desse circuito?

Passo 2

Explicando conceitos essenciais (curta “aula”): impedância, reatância e representação complexa.
  • Em corrente alternada, elementos têm impedância complexa Z, que combina resistência (parte real) e reatância (parte imaginária). Usa-se j para a unidade imaginária ( j^2=-1).
  • Indutor: impedância Z_L = j X_L, onde X_L é a reatância indutiva dada por X_L = 2\pi f L.Aqui f é a frequência (Hz) e L a indutância (H). O sinal positivo indica que a queda de tensão está à frente da corrente (comportamento indutivo).
  • Capacitor: impedância Z_C = -j X_C, onde X_C é a reatância capacitiva dada por X_C = \frac{1}{2\pi f C}.O sinal negativo indica comportamento capacitivo (tensão atrasada em relação à corrente).
  • Para dois impedâncias Z_1 e Z_2 em paralelo, a impedância equivalente é Z_{p}=\frac{Z_1 Z_2}{Z_1+Z_2}.

Passo 3

Calcular as reatâncias X_L e X_C com os números dados.
  • Para o indutor: X_L = 2\pi f L = 2\pi\cdot60\cdot0,25 = 30\pi \approx 94,248\\ \Omega.
  • Para o capacitor: X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi\cdot60\cdot50\times10^{-6}} \approx 53,052\\ \Omega.
(Arredondei para três casas significativas quando fiz as contas finais.)

Passo 4

Escrever as impedâncias individuais em forma complexa e montar a combinação em paralelo.
  • Impedâncias: Z_L = jX_L = j\,94,248\\ \Omega, \qquad Z_C = -jX_C = -j\,53,052\\ \Omega.
  • Impedância do paralelo Z_p: Z_p=\frac{Z_L Z_C}{Z_L+Z_C}.Substituindo Z_L=jX_L e Z_C=-jX_C: Z_p=\frac{(jX_L)(-jX_C)}{jX_L + (-jX_C)}.Simplificando j(-j) = -j^2 = 1 e fatorando j no denominador: Z_p=\frac{X_L X_C}{j(X_L - X_C)} = -j\frac{X_L X_C}{X_L - X_C}.Isso mostra que o paralelo fica puramente reativo (parte real nula) e com sinal determinado pelo sinal de X_L-X_C. Como X_L>X_C no nosso caso, o resultado será capacitivo (terá sinal -j).

Passo 5

Calcular numericamente Z_p usando os valores numéricos.
  • Produto X_L X_C: X_L X_C \approx 94,248\cdot53,052 \approx 5000{,}0\\ \Omega^2.
  • Diferença X_L - X_C: X_L - X_C \approx 94,248 - 53,052 = 41,196\\ \Omega.
  • Logo Z_p \approx -j\frac{5000{,}0}{41,196} \approx -j\,121{,}37\\ \Omega.
Interpretando: o ramo paralelo comporta-se como uma reatância capacitiva equivalente de magnitude cerca de 121{,}37\\ \Omega.

Passo 6

Somar a resistência em série com esse paralelo para obter a impedância total equivalente.
  • A resistência R está em série com Z_p, então Z_{eq} = R + Z_p = 10 - j\,121{,}37\\ \Omega.

Passo 7

Calcular magnitude e ângulo (opcional mas útil para entender comportamento do circuito).
  • Magnitude: |Z_{eq}| = \sqrt{10^2 + 121{,}37^2} \approx \sqrt{100 + 14733} \approx 121{,}78\\ \Omega.
  • Fase (ângulo da impedância): \varphi = \arctan\!\left(\frac{\operatorname{Im}(Z_{eq})}{\operatorname{Re}(Z_{eq})}\right) = \arctan\!\left(\frac{-121{,}37}{10}\right) \approx -85{,}3^\circ.Isso significa que a corrente está aproximadamente 85{,}3^\circ adiantada em relação à tensão (comportamento capacitivo predominante).

Passo 8

Resumo didático rápido para a prova (o que memorizar e como fazer rápido):
  • Calcule X_L = 2\pi f L e X_C = 1/(2\pi f C).
  • Monte Z_L=jX_L e Z_C=-jX_C.
  • Para paralelo: use Z_p=(Z_L Z_C)/(Z_L+Z_C) e tente simplificar para a forma real \pm j quando só há reatâncias (frequentemente dá forma -j\cdot X_L X_C/(X_L-X_C)).
  • Some em série com R para obter Z_{eq}.

Resposta

Z_{eq} \approx 10 - j\,121{,}37\\ \Omega
|Z_{eq}|\approx 121{,}78\\ \Omega,\quad \varphi\approx -85{,}3^\circ

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