1. Um indutor de 0,25 \mathrm{H} e um capacitor de 50 microFaraday são conectados em série a uma fonte de 127 V e 60 Hz e uma resistência de 10 Ohms.
c) Calcula corrente total para os dois casos.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Indutância: L=0{,}25\\ \mathrm{H}.
  • Capacitância: C=50\\ \mu\mathrm{F}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Fonte senoidal: tensão eficaz V_{\mathrm{rms}}=127\\ \mathrm{V} e frequência f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Resistência série: R=10\\ \Omega.
  • O enunciado pede: “Calcula corrente total para os dois casos.”
    Observação importante: o enunciado não especificou quais são exatamente “os dois casos”. Como não posso pedir esclarecimento, vou calcular os dois casos mais comuns e úteis para prova:
  • Caso (A): circuito série com R, L e C todos conectados (ou seja, R–L–C em série).
  • Caso (B): circuito série com apenas R e L (ou seja, o capacitor ausente), que é uma situação frequentemente pedida para comparar o efeito do capacitor.
    Nas próximas etapas vou explicar a teoria necessária (o que é reatância, impedância, como se calcula a corrente) e calcular passo a passo os valores numéricos.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar — explicação didática e sem pular etapas:
  • Para um circuito AC senoidal, cada componente tem uma resistência/reatância:
    • A resistência ôhmica é R (em \Omega).
    • A reatância indutiva (do indutor) é \,X_L=\omega L\,, onde \omega é a pulsação angular em rad/s e L é a indutância em henry. Aqui: \omega = 2\pi f.Explicação: \omega traduz a frequência em “ângulo por segundo” e multiplica a indutância para dar resistência à variação de corrente (reatância).
    • A reatância capacitiva (do capacitor) é \,X_C=\dfrac{1}{\omega C}\,.
      Explicação: o capacitor tende a “resistir” à mudança de tensão; quanto maior a frequência ou a capacitância, menor é X_C.
  • Num circuito série R–L–C a impedância complexa (que combina resistência e reatância) é Z = R + j\,(X_L - X_C),onde j é a unidade imaginária. O módulo da impedância (que usamos para achar a corrente eficaz) é |Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}.
  • A corrente eficaz (módulo) no circuito série é dada por I_{\mathrm{rms}} = \frac{V_{\mathrm{rms}}}{|Z|}.
  • Se o circuito for só R e L (caso B), então X_C não entra e |Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2},e a corrente é calculada com a mesma fórmula I_{\mathrm{rms}} = V_{\mathrm{rms}}/|Z|.

Passo 3

Calcular a pulsação \omega e as reatâncias numéricas (cada passo detalhado):
  • Primeiro \omega: \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot60 = 120\pi \approx 376{,}9911184\\ \mathrm{rad/s}.
  • Reatância indutiva: X_L = \omega L = 376{,}9911184\cdot0{,}25 = 94{,}2477796\\ \Omega.Interpretação: o indutor “parece” uma resistência de 94{,}25\\ \Omega para a corrente alternada nessa frequência.
  • Reatância capacitiva: X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{376{,}9911184\cdot50\times10^{-6}} = 53{,}0516477\\ \Omega.Interpretação: o capacitor “parece” uma resistência de 53{,}05\\ \Omega, mas com efeito de atraso de corrente (reatância capacitiva).

Passo 4

Caso (A): circuito série R L C — cálculo da impedância e da corrente passo a passo:
  • Calcula-se a reatância líquida (indutiva menos capacitiva): X = X_L - X_C = 94{,}2477796 - 53{,}0516477 = 41{,}1961319\\ \Omega.Interpretação: como X_L>X_C, o circuito é indutivo líquido (a corrente vai atrasar a tensão).
  • Módulo da impedância: |Z| = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{10^2 + 41{,}1961319^2}.Vamos calcular: 41{,}1961319^2 \approx 1696{,}9990\quad\text{e}\quad 10^2=100,
|Z| = \sqrt{100 + 1696{,}9990} = \sqrt{1796{,}9990} \approx 42{,}3999880\\ \Omega.
  • Corrente eficaz (módulo): I_{\mathrm{rms}} = \frac{V_{\mathrm{rms}}}{|Z|} = \frac{127}{42{,}3999880} \approx 2{,}995\\ \mathrm{A}.Arredondando para duas casas decimais fica I_{\mathrm{rms}}\approx 3{,}00\\ \mathrm{A}.
  • (Comentário didático) Também é útil a defasagem \varphi entre tensão e corrente: \varphi = \arctan\!\left(\frac{X}{R}\right)=\arctan\!\left(\frac{41{,}1961319}{10}\right)\approx 1{,}331\\ \text{rad}\approx76{,}3^\circ,mostrando corrente atrasada (circuito indutivo).

Passo 5

Caso (B): circuito série R L (capacitor ausente) — cálculo passo a passo:
  • Aqui X_C não entra; então X=X_L=94{,}2477796\\ \Omega.
  • Módulo da impedância: |Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{10^2 + 94{,}2477796^2}.Calculando: 94{,}2477796^2 \approx 8883{,}999\quad\text{e}\quad 10^2=100,
|Z| = \sqrt{100 + 8883{,}999} = \sqrt{8983{,}999} \approx 94{,}772459\\ \Omega.
  • Corrente eficaz: I_{\mathrm{rms}} = \frac{127}{94{,}772459} \approx 1{,}340\\ \mathrm{A}.Arredondando para duas casas decimais fica I_{\mathrm{rms}}\approx 1{,}34\\ \mathrm{A}.
  • (Comentário didático) A ausência do capacitor aumenta muito a reatância líquida, reduzindo a corrente; a defasagem aqui é maior (quase 84^\circ) porque X_L domina.

Passo 6

Resumo físico e dica de prova (rápida):
  • O capacitor reduz a reatância líquida quando X_C está presente, aumentando a corrente em relação ao caso só com indutor; por isso em (A) a corrente é maior que em (B).
  • Fórmulas essenciais para decorar e aplicar na prova: \omega = 2\pi f,\qquad X_L=\omega L,\qquad X_C=\frac{1}{\omega C},\qquad |Z|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2},\qquad I=\frac{V}{|Z|}.
  • Tenha sempre cuidado com as unidades (microfarad \to farad) e com usar V_{\mathrm{rms}} e I_{\mathrm{rms}} quando a fonte é dada em tensão eficaz.

Resposta

Caso (A) — circuito série R L C: I_{\mathrm{rms}} \approx 2{,}995\\ \mathrm{A} \approx 3{,}00\\ \mathrm{A}
Caso (B) — circuito série R L (sem capacitor): I_{\mathrm{rms}} \approx 1{,}340\\ \mathrm{A} \approx 1{,}34\\ \mathrm{A}

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