Um indutor é feito com um fio de 0,30 \mathrm{~mm} de diâmetro firmemente enrolado sobre um cilindro com 4,0 \mathrm{~mm} de diâmetro. Qual deve ser o comprimento do cilindro para que a indutância do solenóide seja de 10 \mu \mathrm{H} ?

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do cilindro para que um solenóide feito com fio de diâmetro d=0,30\\ \mathrm{mm} enrolado em um núcleo de diâmetro D=4,0\\ \mathrm{mm} tenha indutância L=10\\ \mu\mathrm{H}. O conteúdo envolvido é a fórmula da indutância de um solenóide e a relação entre número de voltas e comprimento do enrolamento.

Passo 2

A indutância de um solenóide longo de N voltas, área da seção transversal A e comprimento l é dada por
L = \mu_0\,\frac{N^2\,A}{l},
onde \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 3

Como o fio está enrolado firmemente, as voltas ficam justapostas com espaçamento igual ao diâmetro do fio d. Logo, o número de voltas é
N = \frac{l}{d}.

Passo 4

Substituindo N em L, obtemos
L = \mu_0\,\frac{\bigl(\tfrac{l}{d}\bigr)^2\,A}{l} = \mu_0\,\frac{l\,A}{d^2}.
Isolando l,
l = \frac{L\,d^2}{\mu_0\,A}.

Passo 5

A área da seção transversal do solenóide é
A = \pi\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^2 = \pi\,(2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m})^2 = 4\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
O diâmetro do fio em metros é d=0{,}30\\ \mathrm{mm}=3{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora calculamos
l = \frac{(10\times10^{-6}\,\mathrm{H})\,(3{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m})^2} {(4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m})\,(4\pi\times10^{-6}\,\mathrm{m}^2)} \approx 5{,}7\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.

Resposta

O comprimento do cilindro deve ser
l \approx 5{,}7\\ \mathrm{cm}.

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