\mathbf{5}^{\mathbf{a}} Questão) Um bloco cuja massa m é 680 g está preso a uma mola cuja constante elástica k é 65 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco é puxado em uma superfície sem atrito por uma distância x=11 \mathrm{~cm} a partir da posição de equilíbrio em x=0 e liberado sem velocidade inicial no instante t=0.
(a) Determine a frequência angular, a frequência e o período o do movimento. \omega=9,8 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
(b) Determine a amplitude das oscilações. \mathbf{x}_{\text {máx }}=\mathbf{1 1} \mathrm{cm}á.
(c) Determine a velocidade máxima v_{m} do bloco e o local em que se encontra o bloco quando tem essa velocidade. \mathrm{v}_{\text {máx }}=1,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}á.
(d) Determine o módulo a_{m} da aceleração máxima do bloco. \mathrm{a}_{\text {máx }}=11 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}á.
(f) Determine a função deslocamento x(t) do sistema bloco-mola. \mathrm{x}(\mathrm{t})=0,11 \mathrm{~m} \cos (9,8 \mathrm{rad} / \mathrm{s} t)

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola sem atrito com massa m=0,68\\ \mathrm{kg}, constante elástica k=65\\ \mathrm{N/m}, deslocamento inicial x(0)=0,11\\ \mathrm{m} e velocidade inicial v(0)=0. O conteúdo aqui é o Movimento Harmônico Simples (MHS). Para resolver vamos usar as fórmulas clássicas de MHS:
\omega=\sqrt{k/m}
f=\omega/(2\pi) e T=1/f
A é o deslocamento máximo
v_{\max}=A\,\omega (em x=0)
a_{\max}=A\,\omega^2
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), com \varphi determinado pelas condições iniciais.

Passo 2

Calcular a frequência angular \omega:
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{65}{0,68}} \approx 9,8\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Determinar a frequência f e o período T:
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{9,8}{2\pi} \approx 1,56\\ \mathrm{Hz},
T = \frac{1}{f} \approx \frac{1}{1,56} \approx 0,64\\ \mathrm{s}.

Passo 4

A amplitude A do MHS coincide com o deslocamento inicial, pois foi solto de repouso em x=+0,11\\ \mathrm{m}. Logo,
A = 0,11\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade máxima v_{\max}, que ocorre em x=0:
v_{\max} = A\,\omega = 0,11 \times 9,8 \approx 1,1\\ \mathrm{m/s}.
O bloco está em x=0 quando atinge essa velocidade.

Passo 6

Calcular a aceleração máxima a_{\max}:
a_{\max} = A\,\omega^2 = 0,11 \times (9,8)^2 \approx 11\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Determinar a fase inicial \varphi e a função x(t). Como x(0)=A e v(0)=0, segue que \varphi=0. Portanto,
x(t) = A \cos(\omega t) = 0,11\\ \mathrm{m}\,\cos\bigl(9,8\\ t\bigr).

Resposta

(a) \omega=9,8\\ \mathrm{rad/s},\\ f=1,56\\ \mathrm{Hz},\\ T=0,64\\ \mathrm{s}.
(b) A=0,11\\ \mathrm{m}.
(c) v_{\max}=1,1\\ \mathrm{m/s} em x=0.
(d) a_{\max}=11\\ \mathrm{m/s^2}.
(f) x(t)=0,11\\ \mathrm{m}\,\cos(9,8\\ t).

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