\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão) Um disco homogêneo e preso por um ponto P em sua periferia e posto para oscilar. Determine o seu período para pequenas oscilações e o comprimento de um pêndulo simples equivalente.
R.: T=2 \pi \sqrt{\frac{3}{\frac{2}{g}} R} ; L_{e q}=\frac{3}{2} R

Passo 1

O enunciado considera um disco homogêneo de massa m e raio R preso por um ponto P na sua periferia, oscilando em pequenas amplitudes. O conteúdo usado envolve o pêndulo físico, o teorema dos eixos paralelos para o momento de inércia e a fórmula do período de um pêndulo físico.

Passo 2

Calcular o momento de inércia do disco em relação ao ponto de apoio P. O momento de inércia em torno do centro de massa é
I_{\mathrm{CM}}=\tfrac12\,mR^2,
e a distância do centro de massa até P é d=R. Pelo teorema dos eixos paralelos,
I_{P}=I_{\mathrm{CM}}+m\,d^2 =\tfrac12\,mR^2+mR^2=\tfrac32\,mR^2.

Passo 3

Usar a fórmula do período de um pêndulo físico
T=2\pi\sqrt{\frac{I_{P}}{m\,g\,d}}
Substituindo I_{P}=\tfrac32\,mR^2 e d=R, obtemos
T=2\pi\sqrt{\frac{\tfrac32\,mR^2}{m\,g\,R}} =2\pi\sqrt{\frac{3R}{2g}}.

Passo 4

Determinar o comprimento L_{\mathrm{eq}} do pêndulo simples equivalente, definido por
T=2\pi\sqrt{\frac{L_{\mathrm{eq}}}{g}}
Como já sabemos o período, ou diretamente por
L_{\mathrm{eq}}=\frac{I_{P}}{m\,d} =\frac{\tfrac32\,mR^2}{mR} =\tfrac32\,R.

Resposta

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{3R}{2g}}
L_{\mathrm{eq}} = \dfrac{3}{2}\,R

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