Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede que trabalhemos com essa equação. Vou entender que o objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja
, expressa em termos de
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona
e implicitamente. - Não foi dado
explicitamente como função de , então usaremos diferenciação implícita. - Queremos
(às vezes denotado por ) em termos de e .
Passo 2
Conceito chave: diferenciação implícita.
- Quando
é uma função de (mesmo que não tenhamos isolada), ao derivar uma expressão que contém usamos a regra da cadeia: a derivada de uma expressão em é a derivada em relação a multiplicada por . - Exemplo simples: a derivada de
em relação a é
Aqui
significa
.
Passo 3
Regras que vamos usar e como aplicá-las neste problema:
- Regra da potência com cadeia:
. - Regra do produto:
. Aplicada a , com e , obtemos
- Derivada de
(cadeia): . - Produto envolvendo
e : para ,
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados da equação termo a termo, aplicando as regras acima:
Substituindo as derivadas:
Juntando termos:
Passo 5
Agrupando os termos que contêm
de um lado e os que não contêm
do outro:
- Subtraindo
de ambos os lados e subtraindo de ambos os lados, obtemos
- Podemos fatorar o lado direito:
Passo 6
Para isolar
dividimos ambos os lados por o coeficiente que multiplica
, supondo que ele não seja zero (se for zero, a derivada fica indefinida naquele ponto e precisa de análise adicional):
Observe que:
- Esse resultado dá
em termos de e . - Se o denominador for zero em algum ponto
que satisfaça a equação original, a derivada não existe ali (ou exige análise de limite).
Passo 7
Dicas práticas para a prova (resumindo e motivando):
- Ao ver uma equação com
misturado a , pense automaticamente em diferenciação implícita. - Identifique termos que exigem produto e cadeia, marque claramente onde aparece
. - Agrupe todos os
de um lado e fatorize — é o passo que costuma resolver a questão. - Se ficar inseguro, faça um teste com um exemplo simples: para
, a diferença implícita dá e portanto . Isso é a mesma ideia, só mais simples.
Força aí — você já tem a técnica, é repetir isso com calma na prova e praticar mais um ou dois exemplos rápidos.