y^{5}+x^{2} y^{3}=1+y e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y^{5}+x^{2}y^{3}=1+y e^{x^{2}}
e pede que trabalhemos com essa equação. Vou entender que o objetivo é encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja \dfrac{dy}{dx}, expressa em termos de x e y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona x e y implicitamente.
  • Não foi dado y explicitamente como função de x, então usaremos diferenciação implícita.
  • Queremos \dfrac{dy}{dx} (às vezes denotado por y') em termos de x e y.

Passo 2

Conceito chave: diferenciação implícita.
  • Quando y é uma função de x (mesmo que não tenhamos y isolada), ao derivar uma expressão que contém y usamos a regra da cadeia: a derivada de uma expressão em y é a derivada em relação a y multiplicada por y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Exemplo simples: a derivada de y^{n} em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl(y^{n}\bigr)=n y^{n-1}\,y'.
Aqui y' significa \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Regras que vamos usar e como aplicá-las neste problema:
  • Regra da potência com cadeia: \dfrac{d}{dx}\bigl(y^{5}\bigr)=5y^{4}y'.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'v+u v'. Aplicada a x^{2}y^{3}, com u=x^{2} e v=y^{3}, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=2x\,y^{3}+x^{2}\cdot 3y^{2}y'.
  • Derivada de e^{x^{2}} (cadeia): \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)=2x e^{x^{2}}.
  • Produto envolvendo y e e^{x^{2}}: para y e^{x^{2}},
\frac{d}{dx}\bigl(y e^{x^{2}}\bigr)=y'\,e^{x^{2}}+y\cdot 2x e^{x^{2}}.

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados da equação termo a termo, aplicando as regras acima:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{5}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y e^{x^{2}}\bigr).
Substituindo as derivadas:
5y^{4}y' + \bigl(2x y^{3} + 3x^{2}y^{2}y'\bigr) = 0 + \bigl(y' e^{x^{2}} + 2x y e^{x^{2}}\bigr).
Juntando termos:
5y^{4}y' + 2x y^{3} + 3x^{2}y^{2}y' = y' e^{x^{2}} + 2x y e^{x^{2}}.

Passo 5

Agrupando os termos que contêm y' de um lado e os que não contêm y' do outro:
  • Subtraindo y' e^{x^{2}} de ambos os lados e subtraindo 2x y^{3} de ambos os lados, obtemos
\bigl(5y^{4} + 3x^{2}y^{2} - e^{x^{2}}\bigr)\,y' = 2x y e^{x^{2}} - 2x y^{3}.
  • Podemos fatorar o lado direito:
2x y e^{x^{2}} - 2x y^{3} = 2x y\bigl(e^{x^{2}} - y^{2}\bigr).

Passo 6

Para isolar y' dividimos ambos os lados por o coeficiente que multiplica y', supondo que ele não seja zero (se for zero, a derivada fica indefinida naquele ponto e precisa de análise adicional):
y'=\frac{2x y\bigl(e^{x^{2}}-y^{2}\bigr)}{5y^{4}+3x^{2}y^{2}-e^{x^{2}}}.
Observe que:
  • Esse resultado dá \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.
  • Se o denominador for zero em algum ponto (x,y) que satisfaça a equação original, a derivada não existe ali (ou exige análise de limite).

Passo 7

Dicas práticas para a prova (resumindo e motivando):
  • Ao ver uma equação com y misturado a x, pense automaticamente em diferenciação implícita.
  • Identifique termos que exigem produto e cadeia, marque claramente onde aparece y'.
  • Agrupe todos os y' de um lado e fatorize — é o passo que costuma resolver a questão.
  • Se ficar inseguro, faça um teste com um exemplo simples: para x y = 1, a diferença implícita dá x y' + y = 0 e portanto y'=-\dfrac{y}{x}. Isso é a mesma ideia, só mais simples.
Força aí — você já tem a técnica, é repetir isso com calma na prova e praticar mais um ou dois exemplos rápidos.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{2x y\bigl(e^{x^{2}}-y^{2}\bigr)}{5y^{4}+3x^{2}y^{2}-e^{x^{2}}}

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