As informações do projeto para o rio Guapeva, localizado em Jundiaí, são as seguintes: vazão de 75 m³/s, inclinação do leito de 0,0011 m / m, rugosidade ( n ) de 0,018 e largura do canal (b) de 10 metros. A partir desses dados, determine a velocidade média da água e a altura da lâmina dágua no canal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um projeto para o rio Guapeva em Jundiaí com os seguintes dados:
  • Vazão (Q): 75 m³/s
  • Inclinação do leito (S): 0,0011 m/m
  • Rugosidade de Manning (n): 0,018
  • Largura do canal (b): 10 metros
Nosso objetivo é determinar a velocidade média da água (V) e a altura da lâmina d’água (h) no canal. Para isso, vamos usar a Equação de Manning, que é uma ferramenta fundamental na hidráulica para relacionar esses parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação de Manning, que nos ajuda a calcular a velocidade da água em canais abertos. A fórmula é:
V = 1n R^2/3 S^1/2
Onde:
  • $ V $ é a velocidade média da água (m/s).
  • $ n $ é o coeficiente de rugosidade de Manning.
  • $ R $ é o raio hidráulico (m).
  • $ S $ é a inclinação do leito do canal.
O raio hidráulico ® é dado pela relação entre a área da seção transversal da água $ A $ e o perímetro molhado $ P $:
V
Para um canal retangular, a área $ A $ é largura vezes altura ($ A = b \times h $) e o perímetro molhado $ P $ é a largura mais duas vezes a altura ($ P = b + 2h $).

Passo 3

Vamos começar calculando a área da seção transversal (A). Sabemos que:
A = b times h = 10 times h = 10h , m² ²
Agora, calculamos o perímetro molhado §:
P = b + 2h = 10 + 2h , m
Em seguida, o raio hidráulico ® é:
R = AP = 10h10 + 2h

Passo 4

Sabemos que a vazão (Q) também pode ser expressa como o produto da área da seção transversal pela velocidade:
Q = A times V implies V = QA
Substituindo $ A = 10h $:
A = 10h
Agora, temos duas expressões para $ V $. Vamos igualá-las usando a Equação de Manning:
V = 7510h = 7,5h , m/s

Passo 5

Essa equação é um pouco complexa para resolver diretamente, então vamos simplificar os cálculos passo a passo.
Primeiro, calculamos $ S^{1/2} $:
S^1/2
Agora, a expressão fica:
S^1/2 = raiz0,0011 approx 0,03317
Simplificando o lado direito:
7,5h = 10,018 ( 10h10 + 2h )^2/3 times 0,03317
Então:
10,018 times 0,03317 approx 1,842

Passo 6

Agora, para resolver essa equação para $ h $, podemos usar métodos iterativos ou uma calculadora científica. Vamos tentar encontrar um valor aproximado para $ h $.
Primeiro, suponha que $ h = 1 $ m:
h
h
Como 7,5 ≠ 1,463, precisamos tentar outro valor.
Vamos tentar $ h = 0,5 $ m:
h = 1
7,51 = 7,5
Ainda não está perto. Vamos tentar $ h = 1,5 $ m:
1,842 ( 10 times 110 + 2 times 1 )^2/3 = 1,842 ( 1012 )^2/3 approx 1,842 times 0,7937 approx 1,463
h = 0,5
Ainda não chegamos em 5. Vamos tentar $ h = 3 $ m:
7,50,5 = 15
1,842 ( 10 times 0,510 + 2 times 0,5 )^2/3 = 1,842 ( 511 )^2/3 approx 1,842 times 0,5657 approx 1,042
Estamos próximos! Com $ h = 3 $ m, o lado direito é aproximadamente 2,415, próximo de 2,5. Podemos ajustar ligeiramente.

Passo 7

Ajustando para $ h \approx 3,1 $ m:
h approx 3,1
7,53,1 approx 2,419
Estamos muito próximos! Portanto, a altura da lâmina d’água $ h $ é aproximadamente 3,1 metros.

Resposta

A velocidade média da água é aproximadamente 2,42 m/s e a altura da lâmina d’água no canal é cerca de 3,1 metros.

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