As informações do projeto para o rio Guapeva, localizado em Jundiaí, são as seguintes: vazão de 75 m³/s, inclinação do leito de
, rugosidade (
) de 0,018 e largura do canal (b) de 10 metros. A partir desses dados, determine a velocidade média da água e a altura da lâmina dágua no canal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um projeto para o rio Guapeva em Jundiaí com os seguintes dados:
- Vazão (Q): 75 m³/s
- Inclinação do leito (S): 0,0011 m/m
- Rugosidade de Manning (n): 0,018
- Largura do canal (b): 10 metros
Nosso objetivo é determinar a velocidade média da água (V) e a altura da lâmina d’água (h) no canal. Para isso, vamos usar a Equação de Manning, que é uma ferramenta fundamental na hidráulica para relacionar esses parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Equação de Manning, que nos ajuda a calcular a velocidade da água em canais abertos. A fórmula é:
Onde:
- $ V $ é a velocidade média da água (m/s).
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade de Manning.
- $ R $ é o raio hidráulico (m).
- $ S $ é a inclinação do leito do canal.
O raio hidráulico ® é dado pela relação entre a área da seção transversal da água $ A $ e o perímetro molhado $ P $:
Para um canal retangular, a área $ A $ é largura vezes altura ($ A = b \times h $) e o perímetro molhado $ P $ é a largura mais duas vezes a altura ($ P = b + 2h $).
Passo 3
Vamos começar calculando a área da seção transversal (A). Sabemos que:
Agora, calculamos o perímetro molhado §:
Em seguida, o raio hidráulico ® é:
Passo 4
Sabemos que a vazão (Q) também pode ser expressa como o produto da área da seção transversal pela velocidade:
Substituindo $ A = 10h $:
Agora, temos duas expressões para $ V $. Vamos igualá-las usando a Equação de Manning:
Passo 5
Essa equação é um pouco complexa para resolver diretamente, então vamos simplificar os cálculos passo a passo.
Primeiro, calculamos $ S^{1/2} $:
Agora, a expressão fica:
Simplificando o lado direito:
Então:
Passo 6
Agora, para resolver essa equação para $ h $, podemos usar métodos iterativos ou uma calculadora científica. Vamos tentar encontrar um valor aproximado para $ h $.
Primeiro, suponha que $ h = 1 $ m:
Como 7,5 ≠ 1,463, precisamos tentar outro valor.
Vamos tentar $ h = 0,5 $ m:
Ainda não está perto. Vamos tentar $ h = 1,5 $ m:
Ainda não chegamos em 5. Vamos tentar $ h = 3 $ m:
Estamos próximos! Com $ h = 3 $ m, o lado direito é aproximadamente 2,415, próximo de 2,5. Podemos ajustar ligeiramente.
Passo 7
Ajustando para $ h \approx 3,1 $ m:
Estamos muito próximos! Portanto, a altura da lâmina d’água $ h $ é aproximadamente 3,1 metros.
Resposta
A velocidade média da água é aproximadamente 2,42 m/s e a altura da lâmina d’água no canal é cerca de 3,1 metros.