Qual a profundidade de escoamento em um canal trapezoidal ( m=1 ) que conduz uma vazão de 38 m^3 / s. Considerar os seguintes dados: n=0,011 ; I=0,0002 m / m ; b=5,6 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre encontrar a profundidade de escoamento em um canal trapezoidal que está transportando uma certa quantidade de água. A gente vai usar conhecimentos de hidráulica, especificamente a Equação de Manning, que é super útil pra calcular vazões em canais abertos. Para resolver isso, vamos precisar dos dados fornecidos: a vazão $ Q $, o coeficiente de rugosidade $ n $, a inclinação $ I $, a largura da base $ b $ e a forma do canal (com $ m = 1 $).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Equação de Manning. Ela é usada para calcular a vazão $ Q $ em canais abertos e é dada por:
Q
Onde:
  • $ Q $ é a vazão (m³/s)
  • $ n $ é o coeficiente de rugosidade
  • $ A $ é a área da seção transversal do fluxo (m²)
  • $ R $ é o raio hidráulico (m)
  • $ I $ é a inclinação do canal (m/m)

Passo 3

Vamos calcular a área $ A $ da seção transversal do fluxo. Como o canal é trapezoidal, a área é dada por:
A
Com $ m = 1 $, fica:
A = (b + m h) h
Aqui, $ h $ é a profundidade que queremos encontrar.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o perímetro molhado $ P $, que é o comprimento da linha de contato entre a água e o canal. Para um canal trapezoidal:
P
Com $ m = 1 $, fica:
P = b + 2 h raiz1 + m^2

Passo 5

O raio hidráulico $ R $ é definido como a relação entre a área $ A $ e o perímetro molhado $ P $:
R

Passo 6

Vamos substituir $ A $ e $ R $ na Equação de Manning:
A
Aqui, $ Q = 38 , m^3/s $, $ n = 0.011 $, $ I = 0.0002 , m/m $, e $ b = 5.6 , m $.

Passo 7

Essa equação está um pouco complicada para resolver diretamente, então a gente pode usar métodos iterativos ou uma calculadora para encontrar $ h $. Vamos testar alguns valores de $ h $ até que a igualdade se aproxime.
Por exemplo, suponha que $ h = 2 , m $:
  1. Calcula $ A = 5.6 \times 2 + 2^2 = 11.2 + 4 = 15.2 , m^2 $
  2. Calcula $ P = 5.6 + 2 \times 2 \times 1.414 = 5.6 + 5.656 = 11.256 , m $
  3. Calcula $ R = \frac{15.2}{11.256} \approx 1.35 , m $
  4. Substitui na Equação de Manning:
h
Como $ Q $ ficou menor que 38, precisamos aumentar $ h $.

Passo 8

Repetindo o processo para $ h = 3 , m $:
  1. $ A = 5.6 \times 3 + 3^2 = 16.8 + 9 = 25.8 , m^2 $
  2. $ P = 5.6 + 2 \times 3 \times 1.414 = 5.6 + 8.484 = 14.084 , m $
  3. $ R = \frac{25.8}{14.084} \approx 1.83 , m $
  4. Substitui na Equação de Manning:
h = 3 , m ó

Resposta

A profundidade de escoamento é aproximadamente 3 metros.

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