Um canal trapezoidal deve ser projetado para transportar uma vazão de 30 m^3 / s. Considerando uma inclinação longitudinal de I=0,00015, coeficiente de rugosidade n= 0,015, largura da base b=7 metros e inclinações laterais de 1 (vertical) para 1,5 (horizontal), determine a profundidade de escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A gente precisa projetar um canal trapezoidal que transporte uma vazão de 30 , m^3/s. Para isso, precisamos calcular a profundidade do escoamento. Vamos usar a Equação de Manning, que é fundamental para resolver problemas de escoamento em canais abertos. Precisamos dos seguintes dados:
  • Inclinação longitudinal I = 0,00015
  • Coeficiente de rugosidade n = 0,015
  • Largura da base b = 7 metros
  • Inclinações laterais de 1 vertical para 1,5 horizontal

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Equação de Manning:
Q = 1n A R^2/3 I^1/2
Onde:
  • Q é a vazão
  • A é a área da seção transversal do canal
  • R é o raio hidráulico (que é a área dividida pelo perímetro molhado)
  • n é o coeficiente de rugosidade
  • I é a inclinação longitudinal
Nosso objetivo é encontrar y, a profundidade do escoamento.

Passo 3

Vamos expressar a área A da seção transversal do canal trapezoidal. A fórmula para isso é:
A = (b + z y) y
Onde:
  • b é a largura da base
  • z é a inclinação das laterais (1,5 horizontal para cada 1 vertical)
  • y é a profundidade
Substituindo os valores que temos:
A = (7 + 1,5 y) y = 7y + 1,5 y^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o perímetro molhado P. Para um canal trapezoidal, a fórmula é:
P = b + 2 y raiz1 + z^2
Com z = 1,5:
P = 7 + 2 y raiz1 + (1,5)^2 = 7 + 2 y raiz1 + 2,25 = 7 + 2 y raiz3,25 approx 7 + 2 y times 1,802 = 7 + 3,604 y

Passo 5

O raio hidráulico R é dado por:
R = AP = 7y + 1,5 y^27 + 3,604 y

Passo 6

Agora, vamos substituir A e R na Equação de Manning:
30 = 10,015 (7y + 1,5 y^2) ( 7y + 1,5 y^27 + 3,604 y )^2/3 times (0,00015)^1/2
Vamos simplificar os termos:
(0,00015)^1/2 = raiz0,00015 approx 0,012247
Então:
30 = 10,015 (7y + 1,5 y^2) ( 7y + 1,5 y^27 + 3,604 y )^2/3 times 0,012247

Passo 7

Simplificando mais:
30 = 0,0122470,015 (7y + 1,5 y^2) ( 7y + 1,5 y^27 + 3,604 y )^2/3
0,0122470,015 approx 0,816
Então:
30 = 0,816 (7y + 1,5 y^2) ( 7y + 1,5 y^27 + 3,604 y )^2/3

Passo 8

Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar y. Ela é não linear e geralmente resolvemos por métodos iterativos ou aproximações. Vamos tentar um valor inicial e ajustar.
Vamos supor y = 2 metros:
Calculando A = 7 times 2 + 1,5 times 2^2 = 14 + 6 = 20 , m^2
Perímetro P = 7 + 3,604 times 2 = 7 + 7,208 = 14,208 , m
Raio hidráulico R = 20 / 14,208 approx 1,408 , m
Agora, substituindo na equação de Manning:
Q = 10,015 times 20 times (1,408)^2/3 times (0,00015)^1/2
Calculando:
(1,408)^2/3 approx 1,237
raiz0,00015 approx 0,012247
Q approx 10,015 times 20 times 1,237 times 0,012247 approx 1 / 0,015 times 20 times 0,01513 approx 1 / 0,015 times 0,3026 approx 20,17 , m^3/s
Como 20,17 < 30, precisamos aumentar y.

Passo 9

Vamos tentar y = 3 metros:
Calculando A = 7 times 3 + 1,5 times 3^2 = 21 + 13,5 = 34,5 , m^2
Perímetro P = 7 + 3,604 times 3 = 7 + 10,812 = 17,812 , m
Raio hidráulico R = 34,5 / 17,812 approx 1,936 , m
Substituindo na equação de Manning:
Q = 10,015 times 34,5 times (1,936)^2/3 times 0,012247
Calculando:
(1,936)^2/3 approx 1,524
Q approx 10,015 times 34,5 times 1,524 times 0,012247 approx 1 / 0,015 times 34,5 times 0,0186 approx 1 / 0,015 times 0,642 approx 42,8 , m^3/s
Agora 42,8 > 30, então a profundidade está entre 2 e 3 metros.

Passo 10

Vamos ajustar para um valor intermediário, y = 2,5 metros:
Calculando A = 7 times 2,5 + 1,5 times 2,5^2 = 17,5 + 9,375 = 26,875 , m^2
Perímetro P = 7 + 3,604 times 2,5 = 7 + 9,01 = 16,01 , m
Raio hidráulico R = 26,875 / 16,01 approx 1,682 , m
Substituindo na equação de Manning:
Q = 10,015 times 26,875 times (1,682)^2/3 times 0,012247
Calculando:
(1,682)^2/3 approx 1,368
Q approx 10,015 times 26,875 times 1,368 times 0,012247 approx 1 / 0,015 times 26,875 times 0,01673 approx 1 / 0,015 times 0,449 approx 29,93 , m^3/s
Está quase lá! 29,93 approx 30, então a profundidade de escoamento é aproximadamente 2,5 metros.

Resposta

A profundidade de escoamento é aproximadamente 2,5 metros.

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