Pergunta-se qual das alternativas apresentadas é a solução y(t).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
A equação é linear de segunda ordem com termos forçantes: um termo exponencial contínuo -10e^{-t} e um impulso \;5\delta_{1}(t) (a função delta centrada em t=1).
As condições iniciais são y(0)=7 e y'(0)=-9.
A alternativa certa deve ser uma expressão em termos de t usando u_{1}(t) (a função degrau unitário deslocada em 1, isto é, u_1(t)=u(t-1)).
Vou procurar y(t) para t\ge0 (solução causal).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática curta e amigável).
Por que usar a transformada de Laplace? Porque temos condições iniciais, um impulso \delta_{1}(t) e termos com degrau deslocado — a transformada de Laplace trata muito bem desses elementos usando a propriedade do deslocamento no tempo e as fórmulas para derivadas. Vai nos poupar trabalho com condicionais por intervalos.
Lembrete rápido sobre as fórmulas que usarei:\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s),
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Para o impulso deslocado \delta_{a}(t): \mathcal{L}\{\delta_a(t)\}=e^{-as}. Para o teorema do deslocamento: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{u_a(t)f(t-a)\}=e^{-as}F(s).
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados. Denoto \mathcal{L}\{y\}=Y(s).
Usando as fórmulas de derivadas com y(0)=7 e y'(0)=-9: