Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais ( 2,0 pontos cada item).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas e observações úteis:
- A função integranda é
. - Lembre que
está indefinida quando ; a primitiva será válida em intervalos onde . - Precisamos encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Reescrevo a função usando a definição de cotangente:
Portanto a integranda fica
Passo 3
Quero preparar a integral para uma substituição simples. Uso a identidade trigonométrica básica
que é derivada de
. Assim
Substituindo na integranda:
Passo 4
Técnica utilizada: substituição (u-substitution). Escolho
Então a diferencial é
Essa escolha é natural porque depois da manipulação temos um fator
multiplicando uma expressão em
.
Passo 5
Substituo na integral usando
e
:
Expliquei cada termo:
vira
e
vira
.
Passo 6
Agora integro termo a termo:
Recorde:
(o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo), e
. Assim
Passo 7
Volto à variável original
usando
:
Essa é a primitiva geral da integranda.
Passo 8
Checagem rápida (verificação): calculo a derivada de
.
Somando:
que é exatamente a integranda. Verificação concluída.