Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais ( 2,0 pontos cada item).
\int \operatorname{cotg} x \cos ^{2} x \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \operatorname{cotg} x \cos^{2} x \, dx.
Informações dadas e observações úteis:
  • A função integranda é \operatorname{cotg} x \cos^{2} x.
  • Lembre que \operatorname{cotg} x está indefinida quando \sin x=0; a primitiva será válida em intervalos onde \sin x\neq0.
  • Precisamos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{cotg} x \cos^{2} x.

Passo 2

Reescrevo a função usando a definição de cotangente:
\operatorname{cotg} x=\frac{\cos x}{\sin x}.
Portanto a integranda fica
\operatorname{cotg} x \cos^{2} x=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot \cos^{2} x=\frac{\cos^{3} x}{\sin x}.

Passo 3

Quero preparar a integral para uma substituição simples. Uso a identidade trigonométrica básica
\cos^{2} x=1-\sin^{2} x,
que é derivada de \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Assim
\cos^{3} x=\cos^{2} x\cdot\cos x=(1-\sin^{2} x)\cos x.
Substituindo na integranda:
\frac{\cos^{3} x}{\sin x}=\frac{(1-\sin^{2} x)\cos x}{\sin x}=\left(\frac{1}{\sin x}-\sin x\right)\cos x.

Passo 4

Técnica utilizada: substituição (u-substitution). Escolho
u=\sin x.
Então a diferencial é
du=\cos x\,dx.
Essa escolha é natural porque depois da manipulação temos um fator \cos x\,dx multiplicando uma expressão em \sin x.

Passo 5

Substituo na integral usando u=\sin x e du=\cos x\,dx:
\int \left(\frac{1}{\sin x}-\sin x\right)\cos x\,dx=\int\left(\frac{1}{u}-u\right)du.
Expliquei cada termo: \frac{1}{\sin x}\cos x\,dx vira \frac{1}{u}du e \sin x\cos x\,dx vira u\,du.

Passo 6

Agora integro termo a termo:
\int\left(\frac{1}{u}-u\right)du=\int \frac{1}{u}\,du-\int u\,du.
Recorde: \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C (o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo), e \int u\,du=\dfrac{u^{2}}{2}+C. Assim
\int\left(\frac{1}{u}-u\right)du=\ln|u|-\frac{u^{2}}{2}+C.

Passo 7

Volto à variável original x usando u=\sin x:
\ln|u|-\frac{u^{2}}{2}+C=\ln|\sin x|-\frac{\sin^{2} x}{2}+C.
Essa é a primitiva geral da integranda.

Passo 8

Checagem rápida (verificação): calculo a derivada de \ln|\sin x|-\dfrac{\sin^{2}x}{2}.
\frac{d}{dx}\ln|\sin x|=\frac{\cos x}{\sin x},\qquad \frac{d}{dx}\left(-\frac{\sin^{2}x}{2}\right)=-\sin x\cos x.
Somando:
\frac{\cos x}{\sin x}-\sin x\cos x=\left(\frac{1}{\sin x}-\sin x\right)\cos x=\frac{\cos^{3}x}{\sin x}=\operatorname{cotg} x\cos^{2}x,
que é exatamente a integranda. Verificação concluída.

Resposta

\ln|\sin x|-\dfrac{\sin^{2} x}{2}+C

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