Verifique se a força
\mathbf{F}=\left(y^{2} \cos (x)+z^{3}\right) \hat{\mathbf{i}}+(2 y \sin (x)-4) \hat{\mathbf{j}}+\left(3 x z^{2}+2\right) \hat{\mathbf{k}}
é conservativa. Se for, determine o potencial escalar de \mathbf{F} e calcule o trabalho para ir de (0,1,-1) a (\pi / 2,-1,2).

Passo 1

O enunciado dá o campo de força
\mathbf{F}=\left(y^{2}\cos(x)+z^{3}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(2y\sin(x)-4\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(3xz^{2}+2\right)\hat{\mathbf{k}}
e pede três coisas:
  1. Verificar se \mathbf{F} é conservativa.
  2. Se for conservativa, determinar um potencial escalar \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
  3. Calcular o trabalho ao ir de (0,1,-1) até \left(\tfrac{\pi}{2},-1,2\right).

Passo 2

O que significa ser conservativa (mini-aula rápida e prática):
  • Um campo vetorial \mathbf{F} é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Ou seja, \frac{\partial\varphi}{\partial x}=F_x,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=F_y,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=F_z.
  • Uma verificação prática: se \mathbf{F} é definido num domínio simplesmente conectado (sem “buracos”) e tem derivadas parciais contínuas, então \mathbf{F} é conservativa se e só se o rotor (curl) é nulo: \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
  • Aqui \mathbf{F} é definida em todo \mathbb{R}^3 (polinômios e funções trigonométricas), que é simplesmente conectado, e as derivadas parciais são contínuas. Então basta calcular \nabla\times\mathbf{F}.

Passo 3

Calcule o rotor \nabla\times\mathbf{F}. Usamos a fórmula componente a componente:
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{i}} +\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{j}} +\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{k}}.
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias (cada passo é simples, explico devagar):
  • F_x=y^{2}\cos x+z^{3}.
  • F_y=2y\sin x-4.
  • F_z=3xz^{2}+2.
Agora as derivadas:
\frac{\partial F_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3xz^{2}+2)=0, \qquad \frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2y\sin x-4)=0.
Logo a componente \hat{\mathbf{i}} do rotor é 0-0=0.
Em seguida,
\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y^{2}\cos x+z^{3})=3z^{2}, \qquad \frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3xz^{2}+2)=3z^{2}.
Logo a componente \hat{\mathbf{j}} é 3z^{2}-3z^{2}=0.
Finalmente,
\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y\sin x-4)=2y\cos x, \qquad \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}\cos x+z^{3})=2y\cos x.
Logo a componente \hat{\mathbf{k}} é 2y\cos x-2y\cos x=0.

Passo 4

Conclusão do cálculo do rotor: todas as três componentes são zero, portanto
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Como \mathbf{F} está definida em \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conectado) e tem derivadas contínuas, isso implica que \mathbf{F} é conservativa. (Em linguagem prática: o rotor nulo + domínio sem buracos = existe potencial.)

Passo 5

Agora encontramos o potencial \varphi(x,y,z) com o método padrão (integração sucessiva):
Buscamos \varphi tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=y^{2}\cos x+z^{3}.
Integramos em relação a x, tratando y,z como constantes:
\varphi(x,y,z)=\int\big(y^{2}\cos x+z^{3}\big)\,dx = y^{2}\sin x + x z^{3} + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 6

Agora impomos a igualdade com a componente y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=2y\sin x + \frac{\partial g}{\partial y}
deve ser igual a F_y=2y\sin x-4. Portanto
\frac{\partial g}{\partial y}=-4.
Integrando em y (com z fixo):
g(y,z)=-4y+h(z),
onde h(z) é uma função somente de z.

Passo 7

Substituindo g de volta em \varphi obtemos
\varphi(x,y,z)=y^{2}\sin x + x z^{3} -4y + h(z).
Agora usamos a componente z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=3x z^{2} + h'(z)
deve ser igual a F_z=3x z^{2}+2. Assim
h'(z)=2.
Integrando em z:
h(z)=2z + C,
onde C é uma constante real.

Passo 8

Portanto o potencial encontrado (tomando a constante C arbitrária) é
\varphi(x,y,z)=y^{2}\sin x + x z^{3} -4y + 2z + C.
Observação importante (mini-aula): o potencial é único salvo uma constante aditiva C. Na prática para cálculo de trabalho essa constante cancela ao fazer a diferença entre valores em dois pontos.

Passo 9

Cálculo do trabalho entre os pontos usando a independência de caminho:
Se \mathbf{F} é conservativa, o trabalho do ponto A até B é
W=\varphi(B)-\varphi(A).
Escolhemos C=0 para facilitar (isso não altera o resultado final do trabalho). Primeiro avaliamos nos pontos dados.
Ponto inicial A=(0,1,-1):
\varphi(0,1,-1)= (1)^{2}\sin 0 + 0\cdot(-1)^{3} -4\cdot 1 + 2\cdot(-1) = 0 + 0 -4 -2 = -6.
Ponto final B=\left(\tfrac{\pi}{2},-1,2\right):
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,
então
\varphi\!\left(\tfrac{\pi}{2},-1,2\right)=(-1)^{2}\cdot 1 + \tfrac{\pi}{2}\cdot 2^{3} -4(-1) + 2\cdot 2.
Calcule termo a termo:
(-1)^{2}\cdot 1 =1,\qquad \tfrac{\pi}{2}\cdot 2^{3}=\tfrac{\pi}{2}\cdot 8=4\pi,
-4(-1)=4,\qquad 2\cdot 2=4.
Somando:
\varphi\!\left(\tfrac{\pi}{2},-1,2\right)=1+4\pi+4+4=9+4\pi.
Logo o trabalho é
W=\varphi(B)-\varphi(A)=(9+4\pi)-(-6)=15+4\pi.

Passo 10

Resumo final e pequena motivação: concluímos que \mathbf{F} é conservativa porque o rotor é zero em \mathbb{R}^3. Encontramos um potencial explícito e usamos a propriedade de independência de caminho para calcular o trabalho de forma rápida — esse truque é exatamente o que te salva na prova quando aparece uma integral de linha complicada: verifica se é conservativa e usa diferença de potencial.

Resposta

Sim; \mathbf{F} é conservativa em \mathbb{R}^3.\newline
\displaystyle \varphi(x,y,z)=y^{2}\sin x + x z^{3} -4y + 2z + C (qualquer constante C).\newline
\displaystyle W=\;15+4\pi.

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