Verifique se a força
é conservativa. Se for, determine o potencial escalar de
e calcule o trabalho para ir de
a
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de força
e pede três coisas:
- Verificar se
é conservativa. - Se for conservativa, determinar um potencial escalar
tal que . - Calcular o trabalho ao ir de
até .
Passo 2
O que significa ser conservativa (mini-aula rápida e prática):
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar tal que . Ou seja, - Uma verificação prática: se
é definido num domínio simplesmente conectado (sem “buracos”) e tem derivadas parciais contínuas, então é conservativa se e só se o rotor (curl) é nulo: - Aqui
é definida em todo (polinômios e funções trigonométricas), que é simplesmente conectado, e as derivadas parciais são contínuas. Então basta calcular .
Passo 3
Calcule o rotor
. Usamos a fórmula componente a componente:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias (cada passo é simples, explico devagar):
-
. -
. -
.
Agora as derivadas:
Logo a componente
do rotor é
.
Em seguida,
Logo a componente
é
.
Finalmente,
Logo a componente
é
.
Passo 4
Conclusão do cálculo do rotor: todas as três componentes são zero, portanto
Como
está definida em
(domínio simplesmente conectado) e tem derivadas contínuas, isso implica que
é conservativa. (Em linguagem prática: o rotor nulo + domínio sem buracos = existe potencial.)
Passo 5
Agora encontramos o potencial
com o método padrão (integração sucessiva):
Buscamos tal que
Buscamos
Integramos em relação a
, tratando
como constantes:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 6
Agora impomos a igualdade com a componente
:
deve ser igual a
. Portanto
Integrando em
(com
fixo):
onde
é uma função somente de
.
Passo 7
Substituindo
de volta em
obtemos
Agora usamos a componente
:
deve ser igual a
. Assim
Integrando em
:
onde
é uma constante real.
Passo 8
Portanto o potencial encontrado (tomando a constante
arbitrária) é
Observação importante (mini-aula): o potencial é único salvo uma constante aditiva
. Na prática para cálculo de trabalho essa constante cancela ao fazer a diferença entre valores em dois pontos.
Passo 9
Cálculo do trabalho entre os pontos usando a independência de caminho:
Se é conservativa, o trabalho do ponto
até
é
Se
Escolhemos
para facilitar (isso não altera o resultado final do trabalho). Primeiro avaliamos nos pontos dados.
Ponto inicial
:
Ponto final
:
então
Calcule termo a termo:
Somando:
Logo o trabalho é
Passo 10
Resumo final e pequena motivação: concluímos que
é conservativa porque o rotor é zero em
. Encontramos um potencial explícito e usamos a propriedade de independência de caminho para calcular o trabalho de forma rápida — esse truque é exatamente o que te salva na prova quando aparece uma integral de linha complicada: verifica se é conservativa e usa diferença de potencial.
Resposta
Sim;
é conservativa em
.\newline
(qualquer constante
).\newline
.