Informe para os campos de velocidade abaixo:
Se são uni, bi ou tridimensionais e diga por quê.
Se são permanentes ou não permanentes e diga por quê.
As quantidades a e b são constantes.
\vec{V}=\left\langle a x+t,-b y^{2}, 0\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\vec{V} = \langle\,a x + t,\;-b y^{2},\;0\rangle
com a e b constantes, e pede para classificar:
  1. Se é uni-, bi- ou tridimensional (ou seja, em quantas direções espaciais o fluido se move).
  2. Se é permanente (steady) ou não permanente (unsteady), justificando pela dependência explícita do tempo.

Passo 2

Identificamos as componentes de \vec{V}:
V_x = a x + t,\quad V_y = -b y^{2},\quad V_z = 0.
Repare que há contribuição não nula em x e em y, e em z o valor é sempre zero.

Passo 3

Como apenas V_x e V_y podem ser diferentes de zero, o movimento ocorre em duas direções espaciais ( x e y), enquanto V_z=0 para todo ponto. Logo, trata-se de um campo bidimensional.

Passo 4

Um campo é permanente (steady) se não houver dependência explícita de t, ou seja, se
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = \vec{0}.
Aqui
\frac{\partial V_x}{\partial t} = 1,\quad \frac{\partial V_y}{\partial t} = 0,\quad \frac{\partial V_z}{\partial t} = 0,
logo
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = \langle 1,0,0\rangle \neq \vec{0}.
Isso mostra dependência explícita do tempo em V_x, portanto o campo é não permanente (unsteady).

Resposta

O campo de velocidade é bidimensional e não permanente, pois tem componentes não nulas em x e y (duas dimensões) e depende explicitamente de t em V_x.

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