Informe as coordenadas do centro e a medida do raio das circunferências representadas pelas equações:
Passo 1
Enunciado e o que se pede. A equação dada é
O que o problema pede:
- Encontrar as coordenadas do centro da circunferência.
- Encontrar a medida do raio da circunferência.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os coeficientes dos termos quadráticos são
para e para . - Os termos lineares são
e . - A constante é
.
Passo 2
Reescrevo a equação agrupando os termos em
e em
e isolando a constante no outro lado:
Isso deixa claro o que precisa ser completado para obter quadrados perfeitos em
e em
.
Passo 3
Explicação do procedimento de completar quadrado (a técnica que vamos usar).
- Regra prática: para transformar
em um quadrado perfeito, adicionamos , porque
- Aplicando isso aqui: no termo em
temos , então e . - No termo em
temos , então e .
Passo 4
Adiciono esses quadrados perfeitos aos dois lados da equação (sempre que adicionamos algo a um lado, temos que adicionar o mesmo ao outro para manter a igualdade). Começo com a equação do Passo 2:
Agora adiciono
e
a ambos os lados:
Passo 5
Reconheço os quadrados perfeitos no lado esquerdo e calculo o lado direito:
- Pelo Passo 3,
. - Também,
. - No lado direito, faço a soma
.
Portanto a equação fica na forma canônica:
Passo 6
Interpretação da forma canônica:
- A forma geral de uma circunferência com centro
e raio é
- Comparando com
, obtemos: - Centro
. -
, logo (raio positivo).
- Centro
Passo 7
Dica rápida para a prova (atalho): se a equação for
, então o centro é
e o raio é
Aqui
,
,
. Então o centro seria
e o raio
confirmando o resultado anterior.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: