Informe as coordenadas do centro e a medida do raio das circunferências representadas pelas equações:
x^{2}-4 x+y^{2}-8 y+16=0

Passo 1

Enunciado e o que se pede. A equação dada é
x^{2}-4x+y^{2}-8y+16=0.
O que o problema pede:
  • Encontrar as coordenadas do centro da circunferência.
  • Encontrar a medida do raio da circunferência.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os coeficientes dos termos quadráticos são 1 para x^{2} e 1 para y^{2}.
  • Os termos lineares são -4x e -8y.
  • A constante é 16.

Passo 2

Reescrevo a equação agrupando os termos em x e em y e isolando a constante no outro lado:
x^{2}-4x+y^{2}-8y = -16.
Isso deixa claro o que precisa ser completado para obter quadrados perfeitos em x e em y.

Passo 3

Explicação do procedimento de completar quadrado (a técnica que vamos usar).
  • Regra prática: para transformar x^{2}+bx em um quadrado perfeito, adicionamos (b/2)^{2}, porque
(x+\tfrac{b}{2})^{2} = x^{2}+bx+(\tfrac{b}{2})^{2}.
  • Aplicando isso aqui: no termo em x temos x^{2}-4x, então b=-4 e (b/2)^{2}=(-4/2)^{2}=(-2)^{2}=4.
  • No termo em y temos y^{2}-8y, então b=-8 e (b/2)^{2}=(-8/2)^{2}=(-4)^{2}=16.

Passo 4

Adiciono esses quadrados perfeitos aos dois lados da equação (sempre que adicionamos algo a um lado, temos que adicionar o mesmo ao outro para manter a igualdade). Começo com a equação do Passo 2:
x^{2}-4x+y^{2}-8y = -16.
Agora adiciono 4 e 16 a ambos os lados:
x^{2}-4x+4 \;+\; y^{2}-8y+16 \;=\; -16+4+16.

Passo 5

Reconheço os quadrados perfeitos no lado esquerdo e calculo o lado direito:
  • Pelo Passo 3, x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2}.
  • Também, y^{2}-8y+16 = (y-4)^{2}.
  • No lado direito, faço a soma -16+4+16 = 4.
Portanto a equação fica na forma canônica:
(x-2)^{2} + (y-4)^{2} = 4.

Passo 6

Interpretação da forma canônica:
  • A forma geral de uma circunferência com centro (h,k) e raio r é
(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}.
  • Comparando com (x-2)^{2} + (y-4)^{2} = 4, obtemos:
    • Centro (h,k) = (2,4).
    • r^{2} = 4, logo r = \sqrt{4} = 2 (raio positivo).

Passo 7

Dica rápida para a prova (atalho): se a equação for x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0, então o centro é \bigl(-\tfrac{D}{2},-\tfrac{E}{2}\bigr) e o raio é
r = \sqrt{\tfrac{D^{2}+E^{2}}{4} - F}.
Aqui D=-4, E=-8, F=16. Então o centro seria \bigl(-\tfrac{-4}{2},-\tfrac{-8}{2}\bigr)=(2,4) e o raio
r=\sqrt{\tfrac{(-4)^{2}+(-8)^{2}}{4}-16}=\sqrt{\tfrac{16+64}{4}-16}=\sqrt{20-16}=\sqrt{4}=2,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

Centro: (2,4)
Raio: 2

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