Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(3,6) e B(15,30).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação da reta que passa pelos pontos A(3,6) e B(15,30).
Informações dadas:
  • Coordenadas do ponto A: x_A=3, y_A=6.
  • Coordenadas do ponto B: x_B=15, y_B=30.
    Pergunta a responder: encontrar a equação da reta que contém os dois pontos.

Passo 2

Primeiro passo prático: precisamos encontrar a inclinação (coeficiente angular) da reta, chamada de m. A fórmula que usamos é a diferença de ordenadas dividida pela diferença de abscissas:
m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.
O que isso significa: y_B-y_A é quanto a reta sobe (ou desce) quando vamos de A para B verticalmente; x_B-x_A é quanto andamos na horizontal. A razão dá a “inclinação” ou “declive” da reta — quantas unidades em y a reta muda para cada unidade em x.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os pontos dados:
m=\frac{30-6}{15-3}=\frac{24}{12}=2.
Interpretação: a reta sobe 2 unidades em y para cada 1 unidade em x.

Passo 4

Com m conhecido, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta. A forma ponto-inclinação é:
y-y_1=m(x-x_1),
onde (x_1,y_1) é qualquer ponto conhecido da reta (pode ser A ou B) e m é o coeficiente angular. Essa forma é útil na prova porque evita ter que calcular a ordenada ao intercepto primeiro — basta substituir.

Passo 5

Vou usar o ponto A(3,6) e m=2. Substituindo na forma ponto-inclinação:
y-6=2(x-3).
Agora desenvolvemos essa equação passo a passo (álgebra básica: multiplicar e isolar y):
y-6=2x-6.
Some 6 dos dois lados para isolar y:
y=2x.
Pronto — chegou-se à forma mais simples, a forma “eslope-intercepto” y=mx+b, aqui com m=2 e intercepto b=0.

Passo 6

Vamos checar rapidamente se o ponto B(15,30) realmente satisfaz y=2x. Substituindo x=15:
y=2\cdot 15=30,
que é exatamente a ordenada do ponto B. Portanto a equação está correta.

Passo 7

Observações finais úteis para a prova (mastigadas):
  • Se precisasse a forma geral da reta (útil em alguns exercícios), basta rearranjar y=2x para trazer tudo ao mesmo lado:
2x-y=0.
  • Dica prática: ao ver dois pontos, calcule m com a fórmula da Passo 2; depois use ponto-inclinação com qualquer um dos pontos; por fim, simplifique. Isso dá menos chance de erro do que tentar adivinhar o intercepto direto.

Resposta

y=2x

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