Informe se os seguintes sinais são periódicos. Caso algum seja, encontre os períodos fundamentais T.
x_{3}(t)=\cos (t)+\operatorname{sen}(\pi t)

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x_{3}(t)=\cos(t)+\operatorname{sen}(\pi t)
e pede duas coisas: dizer se x_{3}(t) é periódico e, caso seja, encontrar o período fundamental T.
Informações relevantes que temos do enunciado: a soma de duas funções trigonométricas — uma cosseno de argumento t e uma seno de argumento \pi t.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa “periódico” e o que é o período fundamental, explicado devagarinho como se estivéssemos estudando juntos antes da prova.
Definição de periódico:
Uma função x(t) é periódica se existe um número real positivo T>0 tal que, para todo t,
x(t+T)=x(t).
Qualquer T que satisfaça isso é chamado de um período; o menor T>0 que satisfaz isso é o período fundamental.
Período de senos e cossenos:
Uma função do tipo \cos(\omega t) ou \sin(\omega t) tem período
T=\frac{2\pi}{\omega},
onde \omega é a frequência angular (ou seja, o número que multiplica t no argumento). Aqui, explicando as letras: \omega é um número real positivo; se \omega aumenta, a função oscila mais rápido e o período diminui.
Exemplo curto para fixar: \cos(3t) tem \omega=3, então T=\frac{2\pi}{3}. Isso significa que \cos(3(t+T))=\cos(3t+2\pi)=\cos(3t).

Passo 3

Agora identifiquemos as frequências angulares das duas parcelas de x_{3}(t).
Para \cos(t) temos \omega_1=1. Usando a fórmula do passo anterior,
T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=\frac{2\pi}{1}=2\pi.
Para \operatorname{sen}(\pi t) (vou usar a notação usual \sin para ficar mais claro) temos \omega_2=\pi. Então
T_2=\frac{2\pi}{\omega_2}=\frac{2\pi}{\pi}=2.
Resumo: a parcela \cos(t) tem período fundamental T_1=2\pi e a parcela \sin(\pi t) tem período fundamental T_2=2.

Passo 4

Critério prático para a soma de duas funções periódicas ser periódica (ideia e intuição):
  • Se x_1(t) tem período T_1 e x_2(t) tem período T_2, então uma condição suficiente para x_1+x_2 ser periódica é que exista um T>0 que seja múltiplo inteiro de ambos, ou seja, números inteiros n_1,n_2 tais que
T = n_1 T_1 = n_2 T_2.
Nesse caso T é um período comum (e o menor desses T é o mínimo múltiplo comum dos dois, se existir). Em outras palavras, precisamos que a razão \dfrac{T_1}{T_2} seja um número racional (um quociente de inteiros); se for racional então existe uma combinação de inteiros que iguala os períodos.
Uma explicação alternativa (um pouco mais formal, mas curta): se x(t) fosse periódica com período fundamental T, então as frequências angulares presentes na função têm de ser múltiplos inteiros da frequência fundamental \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}. No nosso caso as frequências angulares são 1 e \pi; então deveriam existir inteiros k_1,k_2 tais que
1=k_1\omega_0,\qquad \pi=k_2\omega_0,
o que implica \dfrac{1}{\pi}=\dfrac{k_1}{k_2}, ou seja, \dfrac{1}{\pi} (e portanto \pi) teria que ser racional. Se \pi é irracional, isso é impossível. Vou aplicar essa ideia a seguir.

Passo 5

Calculemos a razão dos períodos que encontramos:
\frac{T_1}{T_2}=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Mas nós sabemos (é um fato básico da matemática) que \pi é um número irracional — não pode ser escrito como quociente de dois inteiros. Isso significa que não existem inteiros n_1,n_2 tais que n_1 T_1 = n_2 T_2. Portanto não existe um T>0 que seja simultaneamente múltiplo inteiro de T_1 e de T_2.
Pela argumentação do passo anterior (as frequências devem ser múltiplos inteiros da frequência fundamental) ou pela ideia de mínimo múltiplo comum, concluímos que não existe período comum para as duas parcelas. Como consequência, a soma \cos(t)+\sin(\pi t) não pode ter período.
Observação rápida para acalmar: às vezes pode parecer que as funções poderiam “se combinar” de uma forma que torne a soma periódica mesmo com razões irracionais, mas nesse caso concreto isso é impossível porque as duas parcelas são funções com períodos fundamentais que exigem que qualquer período comum seja um múltiplo inteiro de cada período fundamental — e isso não acontece aqui por causa da irracionalidade de \pi.

Passo 6

Portanto a conclusão clara e direta: x_{3}(t) não é periódico. Não existe período T>0 tal que x_{3}(t+T)=x_{3}(t) para todo t.
Um pequeno exemplo contrastante para fixar a ideia: se tivéssemos y(t)=\cos(t)+\sin(2t), aí T_1=2\pi e T_2=\pi, a razão é 2 (racional), e um período comum é T=2\pi (que é múltiplo de ambos). Nesse caso a soma seria periódica. Isso ajuda a ver a diferença entre razão racional (possível periodicidade) e razão irracional (impossível).

Resposta

x_{3}(t) não é periódico.

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