Informe se os seguintes sinais são periódicos. Caso algum seja, encontre os períodos fundamentais
.
Passo 1
O enunciado dá o sinal discreto bidimensional
com
e
inteiros, e pede para informar se o sinal é periódico e, caso seja, encontrar os períodos fundamentais
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A pergunta é:
é periódico? Se sim, quais são os períodos fundamentais ao longo de
e de
?
Passo 2
Regra básica (explicada passo a passo): uma sequência discreta
ou
é periódica se existe um inteiro positivo
tal que, para todo
,
Como
e
têm período
no argumento contínuo, queremos um
que faça o argumento aumentar por um múltiplo inteiro de
. Ou seja, devemos ter
para algum inteiro
. Resolvendo para
,
O período fundamental é o menor inteiro positivo
que satisfaça essa igualdade (ou seja, tomar
mínimo positivo que torne
inteiro). Se não existe tal
inteiro, a sequência discreta não é periódica.
Passo 3
Aplicando ao fator em
: temos
para
. Usando a condição
temos
Dividindo por
,
O menor inteiro positivo ocorre para
, então o período fundamental em
é
Verificação direta (checar para a prova): para todo
,
portanto a igualdade de períodos vale.
Passo 4
Aplicando ao fator em
: para
temos igualmente
. A condição
leva ao mesmo cálculo
O menor inteiro positivo é
, então o período fundamental em
é
Verificação direta: para todo
,
Passo 5
Conclusão sobre o sinal bidimensional
: como
é periódico em
com período fundamental
e
é periódico em
com período fundamental
, o sinal bidimensional é periódico separadamente em cada coordenada. Isso significa que para todo
e inteiros
temos
Os menores deslocamentos positivos ao longo de cada eixo que preservam o sinal são
em
e
em
. Exemplinho rápido para fixar: se tivéssemos
, então
e o período seria
.