Informe se os seguintes sinais são periódicos. Caso algum seja, encontre os períodos fundamentais T.
f_{d}(m, n)=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{5} m\right) \cos \left(\frac{\pi}{5} n\right)

Passo 1

O enunciado dá o sinal discreto bidimensional
f_{d}(m,n)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{5}m\right)\cos\!\left(\frac{\pi}{5}n\right)
com m e n inteiros, e pede para informar se o sinal é periódico e, caso seja, encontrar os períodos fundamentais T.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{1) } g(m)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{5}m\right)\quad\text{depende só de }m.ó
\text{2) } h(n)=\cos\!\left(\frac{\pi}{5}n\right)\quad\text{depende só de }n.ó
A pergunta é: f_d é periódico? Se sim, quais são os períodos fundamentais ao longo de m e de n?

Passo 2

Regra básica (explicada passo a passo): uma sequência discreta x[k]=\sin(\omega_0 k) ou x[k]=\cos(\omega_0 k) é periódica se existe um inteiro positivo N tal que, para todo k,
x[k+N]=x[k].
Como \sin(\cdot) e \cos(\cdot) têm período 2\pi no argumento contínuo, queremos um N que faça o argumento aumentar por um múltiplo inteiro de 2\pi. Ou seja, devemos ter
\omega_0 N = 2\pi k
para algum inteiro k. Resolvendo para N,
N = \frac{2\pi k}{\omega_0}.
O período fundamental é o menor inteiro positivo N que satisfaça essa igualdade (ou seja, tomar k mínimo positivo que torne N inteiro). Se não existe tal N inteiro, a sequência discreta não é periódica.

Passo 3

Aplicando ao fator em m: temos \omega_{m}=\dfrac{\pi}{5} para g(m)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{5}m\right). Usando a condição
\omega_{m}N_{m}=2\pi k
temos
\frac{\pi}{5}N_{m}=2\pi k.
Dividindo por \pi,
\frac{1}{5}N_{m}=2k \quad\Rightarrow\quad N_{m}=10k.
O menor inteiro positivo ocorre para k=1, então o período fundamental em m é
N_{m}=10.
Verificação direta (checar para a prova): para todo m,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{5}(m+10)\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{5}m+\!2\pi\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{5}m\right),
portanto a igualdade de períodos vale.

Passo 4

Aplicando ao fator em n: para h(n)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{5}n\right) temos igualmente \omega_{n}=\dfrac{\pi}{5}. A condição
\omega_{n}N_{n}=2\pi k
leva ao mesmo cálculo
\frac{\pi}{5}N_{n}=2\pi k \;\Rightarrow\; N_{n}=10k.
O menor inteiro positivo é k=1, então o período fundamental em n é
N_{n}=10.
Verificação direta: para todo n,
\cos\!\left(\frac{\pi}{5}(n+10)\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{5}n+2\pi\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{5}n\right).

Passo 5

Conclusão sobre o sinal bidimensional f_{d}(m,n)=g(m)\,h(n): como g(m) é periódico em m com período fundamental N_{m}=10 e h(n) é periódico em n com período fundamental N_{n}=10, o sinal bidimensional é periódico separadamente em cada coordenada. Isso significa que para todo m,n e inteiros p,q temos
f_{d}(m+10p,n+10q)=f_{d}(m,n).
Os menores deslocamentos positivos ao longo de cada eixo que preservam o sinal são 10 em m e 10 em n. Exemplinho rápido para fixar: se tivéssemos \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}m\right), então \omega_0=\dfrac{\pi}{2} e o período seria N=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=4.

Resposta

T_{m}=10
T_{n}=10

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