Informe se os seguintes sinais são periódicos. Caso algum seja, encontre os períodos fundamentais T.
f_{d}(m, n)=\operatorname{sen}\left(\frac{1}{5} m\right) \cos \left(\frac{1}{5} n\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente verifique se o sinal discreto
f_{d}(m,n)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{5}m\right)\cos\!\left(\frac{1}{5}n\right)
é periódico. Se for periódico, devemos encontrar os períodos fundamentais T.
Informações dadas:
  • A função é definida em índices inteiros m e n (sinal discreto em 2D).
  • Os argumentos das funções trigonométricas são \frac{1}{5}m e \frac{1}{5}n (em radianos).
    Perguntas explícitas:
  • f_{d} é periódico em m? Se sim, qual é o período fundamental em m?
  • f_{d} é periódico em n? Se sim, qual é o período fundamental em n?
  • Existe um período 2D (um par de inteiros (M,N) tal que f_{d}(m+M,n+N)=f_{d}(m,n) para todo m,n)? Se sim, qual o período fundamental?

Passo 2

Conceito e condição de periodicidade para sequências trigonométricas discretas (aula rápida e tranquila).
Uma sequência discreta x[k] é periódica se existe um inteiro positivo N tal que
x[k+N]=x[k]\quad\text{para todo }k.
Para funções trigonométricas do tipo \operatorname{sen}(\omega k) ou \cos(\omega k) a condição de periodicidade é obtida exigindo que a fase adicionada ao deslocar por N seja um múltiplo inteiro de 2\pi, porque as funções \sin e \cos têm período 2\pi (ou mudam de sinal com deslocamento \pi, que é insuficiente para igualdade sem compensação). Mais formalmente:
  • Para \operatorname{sen}(\omega k) ser periódica com período inteiro N>0 precisamos de
\operatorname{sen}(\omega(k+N))=\operatorname{sen}(\omega k)\quad\forall k,
logo
\omega N = 2\pi p
para algum inteiro p. Assim a condição é que \dfrac{\omega}{2\pi} seja racional; o menor N positivo que satisfaz essa igualdade (com algum inteiro p) é o período fundamental.
  • Mesma lógica para \cos(\omega k): precisa existir inteiro N>0 com \omega N = 2\pi q.
Exemplo concreto para fixar: \operatorname{sen}\!\big(\tfrac{\pi}{2}k\big) tem \omega=\tfrac{\pi}{2}. Como \omega/(2\pi)=\tfrac{1}{4} (racional), o período fundamental é N=4 porque \omega\cdot 4 = 2\pi.

Passo 3

Aplicando a condição ao fator em m: analiso \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{5}m\right). Aqui \omega_m=\frac{1}{5}. A condição de periodicidade (em m) pede um inteiro M>0 tal que
\frac{1}{5}\,M = 2\pi p
para algum inteiro p. Isolando M,
M = 10\pi p.
Para existir um período inteiro M precisamos que 10\pi p seja inteiro para algum p. Mas \pi é um número irracional, então 10\pi p não pode ser inteiro para nenhum inteiro p\neq 0. Portanto não existe inteiro M>0 que satisfaça a condição. Conclusão parcial: o termo \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{5}m\right) não é periódico como sequência em m.
Nota pedagógica: alguém poderia perguntar “mas e se \operatorname{sen} mudar de sinal e a outra função compensar?” — isso é tratado ao analisar o produto e a periodicidade conjunta (vou mostrar adiante).

Passo 4

Aplicando a mesma análise ao fator em n: \cos\!\left(\frac{1}{5}n\right) tem \omega_n=\frac{1}{5}. A condição para existir N>0 inteiro com periodicidade em n é
\frac{1}{5}\,N = 2\pi q
para algum inteiro q, ou
N = 10\pi q.
Pela mesma razão (irracionalidade de \pi) não existe inteiro N>0 que satisfaça isso. Logo \cos\!\left(\frac{1}{5}n\right) não é periódico como sequência em n.

Passo 5

Agora vamos pensar se pode haver periodicidade 2D por um deslocamento conjunto (M,N) (ou seja, existe algum par de inteiros M,N, possivelmente ambos não nulos, tal que)
f_{d}(m+M,n+N)=f_{d}(m,n)\quad\text{para todo }m,n.
Escrevendo a condição:
\operatorname{sen}\!\bigg(\frac{1}{5}(m+M)\bigg)\cos\!\bigg(\frac{1}{5}(n+N)\bigg) = \operatorname{sen}\!\bigg(\frac{1}{5}m\bigg)\cos\!\bigg(\frac{1}{5}n\bigg).
Para que essa igualdade valha para todo m,n precisamos que, ao deslocar, cada fator ou permaneça igual ou que ambos mudem de sinal simultaneamente (pois (+a)(+b) = a b e (-a)(-b)=ab são as duas maneiras de manter o produto igual para todos os valores). Então as possíveis situações são:
  1. Ambos fatores mantêm o mesmo valor: \frac{1}{5}M = 2\pi p \quad\text{e}\quad \frac{1}{5}N = 2\pi q,o que leva a M=10\pi p e N=10\pi q — impossível com M,N inteiros por causa de \pi.
  2. Ambos mudam de sinal simultaneamente: \frac{1}{5}M = \pi + 2\pi p \quad\text{e}\quad \frac{1}{5}N = \pi + 2\pi q,o que leva a M=5\pi(1+2p) e N=5\pi(1+2q) — também impossível com M,N inteiros, novamente por causa de \pi.
  3. Uma mantém e a outra muda de sinal — isso faria o produto trocar de sinal, então não vale para igualdade para todo m,n.
Como em nenhum dos casos existem M,N inteiros que satisfaçam as equações (novamente por \pi irracional), não existe período 2D não trivial.

Passo 6

Resumo técnico e intuição final (meio amiga, meio professorzão): a periodicidade de sequências do tipo \sin(\omega k) ou \cos(\omega k) exige que \omega/(2\pi) seja racional. Aqui \omega=\tfrac{1}{5} e
\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{10\pi},
que é um número irracional porque \pi é irracional. Portanto nenhum dos fatores tem período inteiro e não existe combinação inteira (M,N) que torne o produto periódica. Não inventamos nada estranho — é só a irracionalidade de \pi atrapalhando que apareça um período inteiro.

Resposta

O sinal f_{d}(m,n)=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{5}m\right)\cos\!\left(\tfrac{1}{5}n\right) não é periódico: não existe período inteiro em m, nem em n, nem existe período 2D (M,N) inteiro.

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