Informe se os seguintes sinais são periódicos. Caso algum seja, encontre os períodos fundamentais
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente verifique se o sinal discreto
é periódico. Se for periódico, devemos encontrar os períodos fundamentais
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é definida em índices inteiros
e (sinal discreto em 2D). - Os argumentos das funções trigonométricas são
e (em radianos).
Perguntas explícitas: -
é periódico em ? Se sim, qual é o período fundamental em ? -
é periódico em ? Se sim, qual é o período fundamental em ? - Existe um período 2D (um par de inteiros
tal que para todo )? Se sim, qual o período fundamental?
Passo 2
Conceito e condição de periodicidade para sequências trigonométricas discretas (aula rápida e tranquila).
Uma sequência discreta é periódica se existe um inteiro positivo
tal que
Uma sequência discreta
Para funções trigonométricas do tipo
ou
a condição de periodicidade é obtida exigindo que a fase adicionada ao deslocar por
seja um múltiplo inteiro de
, porque as funções
e
têm período
(ou mudam de sinal com deslocamento
, que é insuficiente para igualdade sem compensação). Mais formalmente:
- Para
ser periódica com período inteiro precisamos de
logo
para algum inteiro
. Assim a condição é que
seja racional; o menor
positivo que satisfaz essa igualdade (com algum inteiro
) é o período fundamental.
- Mesma lógica para
: precisa existir inteiro com .
Exemplo concreto para fixar:
tem
. Como
(racional), o período fundamental é
porque
.
Passo 3
Aplicando a condição ao fator em
: analiso
. Aqui
. A condição de periodicidade (em
) pede um inteiro
tal que
para algum inteiro
. Isolando
,
Para existir um período inteiro
precisamos que
seja inteiro para algum
. Mas
é um número irracional, então
não pode ser inteiro para nenhum inteiro
. Portanto não existe inteiro
que satisfaça a condição. Conclusão parcial: o termo
não é periódico como sequência em
.
Nota pedagógica: alguém poderia perguntar “mas e se
mudar de sinal e a outra função compensar?” — isso é tratado ao analisar o produto e a periodicidade conjunta (vou mostrar adiante).
Passo 4
Aplicando a mesma análise ao fator em
:
tem
. A condição para existir
inteiro com periodicidade em
é
para algum inteiro
, ou
Pela mesma razão (irracionalidade de
) não existe inteiro
que satisfaça isso. Logo
não é periódico como sequência em
.
Passo 5
Agora vamos pensar se pode haver periodicidade 2D por um deslocamento conjunto
(ou seja, existe algum par de inteiros
, possivelmente ambos não nulos, tal que)
Escrevendo a condição:
Para que essa igualdade valha para todo
precisamos que, ao deslocar, cada fator ou permaneça igual ou que ambos mudem de sinal simultaneamente (pois
e
são as duas maneiras de manter o produto igual para todos os valores). Então as possíveis situações são:
- Ambos fatores mantêm o mesmo valor:
o que leva a e — impossível com inteiros por causa de . - Ambos mudam de sinal simultaneamente:
o que leva a e — também impossível com inteiros, novamente por causa de . - Uma mantém e a outra muda de sinal — isso faria o produto trocar de sinal, então não vale para igualdade para todo
.
Como em nenhum dos casos existem
inteiros que satisfaçam as equações (novamente por
irracional), não existe período 2D não trivial.
Passo 6
Resumo técnico e intuição final (meio amiga, meio professorzão): a periodicidade de sequências do tipo
ou
exige que
seja racional. Aqui
e
que é um número irracional porque
é irracional. Portanto nenhum dos fatores tem período inteiro e não existe combinação inteira
que torne o produto periódica. Não inventamos nada estranho — é só a irracionalidade de
atrapalhando que apareça um período inteiro.
Resposta
O sinal
não é periódico: não existe período inteiro em
, nem em
, nem existe período 2D
inteiro.