Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+2 y(t)=x^{2}(t)

Passo 1

O enunciado dá um sistema com entrada x(t) e saída y(t) descrito pela equação diferencial
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 2\,y(t) = x^{2}(t).
A pergunta é: determinar se esse sistema é linear ou não linear.
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação entre entrada e saída é dada pela equação acima para todo t.
  • O termo do lado direito é x^{2}(t) (ou seja, a entrada aparece ao quadrado).
  • Não há outras condições iniciais explícitas no enunciado; só precisamos decidir linearidade do operador que mapeia x(\cdot) em y(\cdot).

Passo 2

Definição operacional de linearidade (super importante para a prova): um sistema é linear se e somente se satisfaz a propriedade de superposição, que tem duas partes equivalentes:
  1. Additividade: se a entrada x_{1}(t) produz saída y_{1}(t) e a entrada x_{2}(t) produz saída y_{2}(t), então a entrada x_{1}(t)+x_{2}(t) deve produzir a saída y_{1}(t)+y_{2}(t).
  2. Homogeneidade (ou escala): se a entrada x_{1}(t) produz saída y_{1}(t), então a entrada a\,x_{1}(t) (para qualquer escalar a) deve produzir a\,y_{1}(t).
Matematicamente: seja L o operador que mapeia entrada em saída. L é linear se para quaisquer x_{1},x_{2} e quaisquer escalares a,b valem
L[a x_{1} + b x_{2}] = a\,L[x_{1}] + b\,L[x_{2}].
Vou testar additividade e homogeneidade para a equação dada.

Passo 3

Teste de additividade (argumento algébrico genérico):
  • Suponha que para as entradas x_{1}(t) e x_{2}(t) as saídas correspondentes sejam y_{1}(t) e y_{2}(t). Então, por hipótese,
\frac{\mathrm{d}y_{1}}{\mathrm{d}t} + 2\,y_{1}(t) = x_{1}^{2}(t) \qquad\text{e}\qquad \frac{\mathrm{d}y_{2}}{\mathrm{d}t} + 2\,y_{2}(t) = x_{2}^{2}(t).
  • Some as duas equações: obtemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(y_{1}+y_{2}\bigr) + 2\bigl(y_{1}+y_{2}\bigr) = x_{1}^{2}(t) + x_{2}^{2}(t).
  • Agora considere a entrada x_{1}(t)+x_{2}(t). A equação do sistema com essa entrada exige
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 2\,y(t) = \bigl(x_{1}(t)+x_{2}(t)\bigr)^{2}.
  • Expanda o quadrado:
\bigl(x_{1}+x_{2}\bigr)^{2} = x_{1}^{2} + 2\,x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}.
  • Comparando com a equação para y_{1}+y_{2}, vemos que falta o termo cruzado 2\,x_{1}x_{2}. Em geral,
x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \neq x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2},
a menos que x_{1}x_{2}=0 para todo t (caso especial raro). Portanto, em geral a função y_{1}+y_{2} não satisfaz a equação correspondente à entrada x_{1}+x_{2}. Conclusão: a propriedade de additividade falha em geral.

Passo 4

Contraexemplo numérico simples (mostra na prática que additividade falha):
  • Escolha x_{1}(t)=1 e x_{2}(t)=1 para todo t (funções constantes).
  • Então \bigl(x_{1}+x_{2}\bigr)^{2} = (1+1)^{2} = 4 enquanto x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 1^{2}+1^{2} = 2.
  • Ou seja, a equação para a soma das saídas teria fonte 2, mas a equação para a entrada soma tem fonte 4: incompatibilidade clara. Logo não há additividade.

Passo 5

Teste de homogeneidade (escalamento):
  • Tome uma entrada x_{1}(t) com saída correspondente y_{1}(t), satisfazendo
\frac{\mathrm{d}y_{1}}{\mathrm{d}t} + 2\,y_{1} = x_{1}^{2}.
  • Considere a entrada escalada a\,x_{1}(t). A equação do sistema pede que a saída y_{a}(t) satisfaça
\frac{\mathrm{d}y_{a}}{\mathrm{d}t} + 2\,y_{a} = \bigl(a\,x_{1}(t)\bigr)^{2} = a^{2}\,x_{1}^{2}(t).
  • Se o sistema fosse homogêneo, esperaríamos y_{a}(t)=a\,y_{1}(t). Substituindo a\,y_{1} no lado esquerdo:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(a\,y_{1}\bigr) + 2\bigl(a\,y_{1}\bigr) = a\left(\frac{\mathrm{d}y_{1}}{\mathrm{d}t}+2y_{1}\right) = a\,x_{1}^{2}.
  • Para que a\,y_{1} seja solução do problema com entrada a\,x_{1} precisamos de a\,x_{1}^{2} = a^{2}\,x_{1}^{2} para todo t, o que implica a = a^{2}. Isso só ocorre para a=0 ou a=1. Para um escalar arbitrário a (por exemplo a=2), a igualdade não vale. Portanto a homogeneidade falha em geral.

Passo 6

Conclusão didática e dica de prova:
  • O problema aparece porque o operador que leva x em x^{2} não é linear: o quadrado introduz termos cruzados e faz com que escalares não saiam “da frente” da mesma maneira que em operadores lineares.
  • Em provas, para mostrar não linearidade é suficiente apresentar uma das falhas (additividade ou homogeneidade) com um argumento geral ou um contraexemplo simples. Aqui fiz os dois: uma prova algébrica geral e um contraexemplo numérico fácil.

Resposta

Sistema não linear.

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