Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com entrada
e saída
descrito pela equação diferencial
A pergunta é: determinar se esse sistema é linear ou não linear.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A relação entre entrada e saída é dada pela equação acima para todo
. - O termo do lado direito é
(ou seja, a entrada aparece ao quadrado). - Não há outras condições iniciais explícitas no enunciado; só precisamos decidir linearidade do operador que mapeia
em .
Passo 2
Definição operacional de linearidade (super importante para a prova): um sistema é linear se e somente se satisfaz a propriedade de superposição, que tem duas partes equivalentes:
- Additividade: se a entrada
produz saída e a entrada produz saída , então a entrada deve produzir a saída . - Homogeneidade (ou escala): se a entrada
produz saída , então a entrada (para qualquer escalar ) deve produzir .
Matematicamente: seja
o operador que mapeia entrada em saída.
é linear se para quaisquer
e quaisquer escalares
valem
Vou testar additividade e homogeneidade para a equação dada.
Passo 3
Teste de additividade (argumento algébrico genérico):
- Suponha que para as entradas
e as saídas correspondentes sejam e . Então, por hipótese,
- Some as duas equações: obtemos
- Agora considere a entrada
. A equação do sistema com essa entrada exige
- Expanda o quadrado:
- Comparando com a equação para
, vemos que falta o termo cruzado . Em geral,
a menos que
para todo
(caso especial raro). Portanto, em geral a função
não satisfaz a equação correspondente à entrada
. Conclusão: a propriedade de additividade falha em geral.
Passo 4
Contraexemplo numérico simples (mostra na prática que additividade falha):
- Escolha
e para todo (funções constantes). - Então
enquanto . - Ou seja, a equação para a soma das saídas teria fonte
, mas a equação para a entrada soma tem fonte : incompatibilidade clara. Logo não há additividade.
Passo 5
Teste de homogeneidade (escalamento):
- Tome uma entrada
com saída correspondente , satisfazendo
- Considere a entrada escalada
. A equação do sistema pede que a saída satisfaça
- Se o sistema fosse homogêneo, esperaríamos
. Substituindo no lado esquerdo:
- Para que
seja solução do problema com entrada precisamos de para todo , o que implica . Isso só ocorre para ou . Para um escalar arbitrário (por exemplo ), a igualdade não vale. Portanto a homogeneidade falha em geral.
Passo 6
Conclusão didática e dica de prova:
- O problema aparece porque o operador que leva
em não é linear: o quadrado introduz termos cruzados e faz com que escalares não saiam “da frente” da mesma maneira que em operadores lineares. - Em provas, para mostrar não linearidade é suficiente apresentar uma das falhas (additividade ou homogeneidade) com um argumento geral ou um contraexemplo simples. Aqui fiz os dois: uma prova algébrica geral e um contraexemplo numérico fácil.
Resposta
Sistema não linear.