T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente convectivo h=100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. A placa possui propriedades constantes, com densidade \rho=2770 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, calor específico c_{p}=875 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} e condutividade térmica k= 50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. Admitindo condução unidimensional e ausência de geração interna de calor, determine: (a) o fluxo de calor na superfície x=L no instante inicial t=0 e o gradiente de temperatura nessa condição; (b) a quantidade total de energia por unidade de área transferida ao banho durante o processo até atingir regime permanente; (c) a energia transferida ao banho utilizando a expressão q^{\prime \prime}(t)=A \exp (-B t), \operatorname{com} A=1,80 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} e B=4,126 \times 10^{-3} \mathrm{~s}^{-1}.
3.1 Considere uma janela de vidro duplo com dimensöes 0,8 \mathrm{~m} \times 0,5 \mathrm{~m}, composta por duas camadas de vidro separadas por uma camada de ar estagnado, sendo cada camada de espessura L= 0,007 \mathrm{~m}. A temperatura do ar no interior é T_{\infty, i}=20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente convectivo h_{i}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. K , enquanto no exterior tem-se T_{\infty, o}=-10^{\circ} \mathrm{C} e h_{o}=80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. As condutividades térmicas do vidro e do ar são, respectivamente, k_{g}=1,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} e k_{a}=0,0245 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. Admitindo regime permanente, condução unidimensional, propriedades constantes e desprezando efeitos radiativos, determine a taxa de perda de calor através da janela.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede para os dois blocos de questões (o primeiro bloco com a placa/transiente e depois a janela dupla).
Dados fornecidos (placa/transiente):
  • Temperatura do banho (ambiente): T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo (superfície exposta): h=100\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Propriedades do sólido: \rho=2770\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, c_p=875\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}, k=50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Admitir condução unidimensional e ausência de geração interna.
O enunciado pede para esse bloco:
(a) o fluxo de calor na superfície x=L no instante inicial t=0 e o gradiente de temperatura nessa condição;
(b) a quantidade total de energia por unidade de área transferida ao banho durante o processo até regime permanente;
(c) a energia transferida ao banho utilizando a expressão q''(t)=A e^{-Bt} com A=1{,}80\times10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 e B=4{,}126\times10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Observação importante sobre o bloco da placa/transiente:
  • O enunciado não fornece a temperatura inicial do sólido ( T_i) nem a espessura/posição L explicitada numericamente. Essas duas informações são necessárias para obter valores numéricos nas partes (a) e (b). Assim, onde for impossível obter um número sem esses dados, apresentarei a fórmula e o raciocínio e indicarei que um valor numérico depende de T_i e/ou L.
Dados fornecidos (janela dupla, problema 3.1):
  • Dimensões da janela: 0{,}8\\ \mathrm{m}\times 0{,}5\\ \mathrm{m} (logo a área A=0{,}8\cdot0{,}5).
  • Três camadas, cada uma de espessura L=0{,}007\\ \mathrm{m}: vidro / ar / vidro (assumirei que a camada de ar também tem espessura 0{,}007\\ \mathrm{m}, conforme o enunciado).
  • Temperatura interna: T_{\infty,i}=20^\circ\mathrm{C}, h_i=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Temperatura externa: T_{\infty,o}=-10^\circ\mathrm{C}, h_o=80\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Condutividades: vidro k_g=1{,}4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}, ar k_a=0{,}0245\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Pede-se: determinar a taxa de perda de calor através da janela (regime permanente, 1D, desprezar radiação).

Passo 2

Explicação física e fórmulas úteis (placa/transiente) — vou ensinar passo a passo como pensar e o porquê das fórmulas.
  1. Condição de contorno convectiva na superfície:
    A condição de contorno de convecção na superfície x=L escreve-se (por unidade de área):
q''(t)=h\bigl(T_s(t)-T_{\infty}\bigr),
onde T_s(t) é a temperatura na superfície x=L no tempo t.
  1. Lei de Fourier (fluxo por condução no sólido):
    Na superfície a condução para o interior (no sentido do eixo x) é dada por
q''(t) = -k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L,t}.
  1. Condição inicial típica (quando o sólido estava inicialmente à temperatura uniforme T_i):
    Se o sólido estiver inicialmente à temperatura uniformemente T_i, então no instante t=0 a temperatura da superfície é T_s(0)=T_i (o campo ainda não teve tempo de se alterar no interior). Por isso, imediatamente após a exposição ao banho, a borda “vê” o gradiente de temperatura instaurado pela diferença entre T_i e T_\infty.
Combinação das duas equações na superfície (bordo):
h\bigl(T_s(t)-T_{\infty}\bigr) = -k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L,t}.
Portanto, no instante inicial t=0, substituindo T_s(0)=T_i,
q''(0) = h\bigl(T_i-T_{\infty}\bigr), \qquad \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L,t=0} = -\frac{q''(0)}{k} = -\frac{h\bigl(T_i-T_{\infty}\bigr)}{k}.
Explicação intuitiva curta: a convecção “puxa” calor na superfície com intensidade h(T_i-T_\infty) no instante inicial; a condução imediatamente abaixo deve fornecer esse mesmo fluxo, logo o gradiente inicial é o fluxo dividido por k.

Passo 3

Resposta detalhada para as partes (a) e (b) do bloco placa/transiente (formas gerais e interpretação).
(a) Fluxo e gradiente iniciais:
  • Fórmulas (dependem de T_i, que não foi dado numericamente):
q''(0)=h\bigl(T_i-T_{\infty}\bigr).
\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L,t=0} = -\frac{h\bigl(T_i-T_{\infty}\bigr)}{k}.
Comentário didático: não é preciso resolver a equação de calor completa para obter o fluxo instantâneo em t=0 porque a superfície ainda está à condição inicial; por isso o uso direto da condição de contorno convectiva seguida da lei de Fourier é suficiente.
(b) Quantidade total de energia por unidade de área transferida ao banho até regime permanente:
  • Física e raciocínio: se o sólido começa uniformemente à temperatura T_i e no regime permanente (tempo muito grande) ele atinge a temperatura do banho T_{\infty} por todo o volume (situação típica quando só há troca de calor com um banho que fixa a temperatura a longo prazo), então a energia total extraída por unidade de área é a variação de energia interna por unidade de área do sólido:
E_{\text{total por área}} = \rho\,L\,c_p \bigl(T_i-T_{\infty}\bigr).á
  • Observação: essa fórmula assume que todo o corpo chega à temperatura T_{\infty} no regime final e que não há geração interna. Para um cálculo numérico é preciso conhecer T_i e L. Sem T_i e L no enunciado, não é possível fornecer um número.

Passo 4

Parte (c) do bloco placa/transiente: usar q''(t)=A e^{-Bt} para obter a energia total transferida.
Método: integrar o fluxo por unidade de área no tempo desde t=0 até t\to\infty:
E=\int_{0}^{\infty} q''(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} A e^{-B t}\,dt = \frac{A}{B}.
Substituindo os valores dados:
A=1{,}80\times10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2,\qquad B=4{,}126\times10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1},
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E=\frac{1{,}80\times10^{4}}{4{,}126\times10^{-3}}\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^2 \approx 4{,}36\times10^{6}\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^2.
Interpretação: esse valor é a energia total hipotética transportada se o fluxo temporal seguir exatamente a lei exponencial dada. Ele pode ser comparado à energia prevista pela mudança de temperatura interna \rho L c_p (T_i-T_\infty) se os parâmetros T_i e L forem conhecidos — assim checa-se a coerência do modelo.

Passo 5

Agora resolvendo o problema 3.1 (janela dupla) passo a passo — método e cálculo numérico.
  1. Área da janela:
A = 0{,}8\\ \mathrm{m}\times0{,}5\\ \mathrm{m} = 0{,}4\\ \mathrm{m}^2.
  1. Modelo térmico: em regime permanente e condução unidimensional, as resistências térmicas aparecem em série:
  • resistência convectiva interna (por unidade de área): r_{c,i}=\dfrac{1}{h_i}.
  • resistência do vidro (cada camada): r_{g}=\dfrac{L}{k_g}.
  • resistência do ar (camada de ar): r_{a}=\dfrac{L}{k_a}.
  • resistência convectiva externa: r_{c,o}=\dfrac{1}{h_o}.
A resistência térmica total por unidade de área é
r_{\text{tot}} = r_{c,i} + r_{g} + r_{a} + r_{g} + r_{c,o}.
  1. Calcular cada termo numericamente (tudo em \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}):
r_{c,i}=\frac{1}{h_i}=\frac{1}{10}=0{,}100\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W},
r_{g}=\frac{L}{k_g}=\frac{0{,}007}{1{,}4}=0{,}005000\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W},
r_{a}=\frac{L}{k_a}=\frac{0{,}007}{0{,}0245}\approx 0{,}285714\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W},
r_{c,o}=\frac{1}{h_o}=\frac{1}{80}=0{,}0125\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. Soma das resistências por unidade de área:
r_{\text{tot}} = 0{,}100 + 0{,}005 + 0{,}285714 + 0{,}005 + 0{,}0125 = 0{,}408214\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. Diferença de temperatura entre os lados:
\Delta T = T_{\infty,i}-T_{\infty,o} = 20^\circ\mathrm{C}-(-10^\circ\mathrm{C})=30\\ \mathrm{K}.
  1. Fluxo por unidade de área (densidade de fluxo) através da janela:
q'' = \frac{\Delta T}{r_{\text{tot}}} = \frac{30}{0{,}408214}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 \approx 73{,}54\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  1. Taxa de perda de calor total através da janela:
\dot{Q} = q''\cdot A = 73{,}54\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 \times 0{,}4\\ \mathrm{m}^2 \approx 29{,}41\\ \mathrm{W}.
Comentário prático: a resistência da camada de ar é a dominante aqui; isso explica o valor relativamente baixo de perda pelo conjunto (uma janela bem isolante).

Passo 6

Resumo prático e como usar os resultados na prova:
  • Para a parte transiente da placa: memorize que no instante inicial, se o sólido tem temperatura inicial uniforme T_i, a superfície ainda está em T_i e o fluxo inicial é dado diretamente por q''(0)=h(T_i-T_\infty); o gradiente inicial é -h(T_i-T_\infty)/k. Para a energia total removida até o equilíbrio, use E=\rho L c_p (T_i-T_\infty). Se pedirem comparação com um modelo experimental q''(t)=Ae^{-Bt}, integre para obter E=A/B.
  • Para problemas em regime permanente com camadas em série, calcule resistências por unidade de área e some; então q''=\Delta T/\sum r e \dot{Q}=q''A.
Força aí — concentre-se em identificar os dados que faltam nos enunciados (como T_i e L no primeiro bloco). Se você me passar T_i e L, eu faço as contas numéricas imediatas para (a) e (b).

Resposta

(a) q''(0)=h\bigl(T_i-T_{\infty}\bigr)
(a) \displaystyle \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L,t=0} = -\frac{h\bigl(T_i-T_{\infty}\bigr)}{k}
(b) \displaystyle E_{\text{total por área}}=\rho\,L\,c_p\bigl(T_i-T_{\infty}\bigr)á
(c) \displaystyle E=\frac{A}{B}=\frac{1{,}80\times10^{4}}{4{,}126\times10^{-3}}\approx 4{,}36\times10^{6}\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^2
(3.1) Fluxo por área através da janela: \displaystyle q''\approx 73{,}54\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2
(3.1) Taxa de perda de calor total pela janela: \displaystyle \dot{Q}\approx 29{,}41\\ \mathrm{W}

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