T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente convectivo h=100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. A placa possui propriedades constantes, com densidade \rho=2770 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, calor específico c_{p}=875 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} e condutividade térmica k= 50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. Admitindo condução unidimensional e ausência de geração interna de calor, determine: (a) o fluxo de calor na superfície x=L no instante inicial t=0 e o gradiente de temperatura nessa condição; (b) a quantidade total de energia por unidade de área transferida ao banho durante o processo até atingir regime permanente; (c) a energia transferida ao banho utilizando a expressão q^{\prime \prime}(t)=A \exp (-B t), \operatorname{com} A=1,80 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} e B=4,126 \times 10^{-3} \mathrm{~s}^{-1}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (valores retirados do enunciado/imagem):
Temperatura do banho: T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}.
Coeficiente de convecção na superfície: h=100\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
Temperatura inicial do corpo: T_i=200^\circ\mathrm{C}.
Meia-espessura da placa: L=10\\ \mathrm{mm}=0,01\\ \mathrm{m} (a placa vai de -L a +L).
Condução unidimensional, sem geração interna.
As perguntas pedidas são:
(a) Determinar o fluxo de calor na superfície x=L no instante inicial t=0 e o gradiente de temperatura nessa condição.
(b) Determinar a quantidade total de energia por unidade de área transferida ao banho durante o processo até regime permanente.
(c) Calcular a energia transferida ao banho usando a expressão \,q''(t)=A\mathrm{e}^{-Bt}\, com A=1,80\times10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} e B=4,126\times10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Passo 2
Entendendo o que acontece fisicamente e as ferramentas que vamos usar (aula rápida, sem complicar):
A condição inicial é que a placa inteira está à temperatura uniforme T_i. Ao instante t=0^+ começa o resfriamento por convecção nas duas faces.
Para cada face a lei de Newton do resfriamento dá o fluxo convectivo para o fluido: \,q''(t)=h\left[T_s(t)-T_{\infty}\right]\,, onde T_s(t) é a temperatura da superfície no tempo t. Aqui q'' tem sinal positivo significando calor saindo da superfície para o banho se T_s>T_\infty.
A lei de Fourier (condução) relaciona fluxo na superfície com o gradiente interno: \,q''(x=L,t) = -k\left.\dfrac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L,t}\,. Atenção ao sinal: se o calor sai da superfície para o banho, o gradiente no interior tem sinal tal que o produto -k\,\partial T/\partial x seja positivo.
Conservação de energia (para o corpo inteiro): a energia total removida do sólido até t\to\infty é igual à redução da energia interna do sólido:Q''_{\text{total}} = m'' c_p (T_i - T_{\infty}),onde m'' é a massa por unidade de área da placa (massa dividida pela área de uma face). Para uma placa de espessura total 2L, m'' = 2L\rho. Assim esta fórmula dá a energia por unidade de área que saiu do sólido e foi absorvida pelo banho (somando as duas faces).
Se for dada uma expressão de fluxo de calor por unidade de área numa face, a energia retiradapor essa face é \int_{0}^{\infty} q''(t)\,dt. Se quisermos a energia total removida de toda a placa (ambas as faces), devemos somar as contribuições de ambas as faces.
Passo 3
Calcular o fluxo de calor na superfície x=L no instante inicial t=0.
No instante inicial a superfície ainda tem a temperatura inicial do sólido T_s(0)=T_i=200^\circ\mathrm{C} (condição de temperatura uniforme no sólido no t=0). Logo pelo balanço de convecção:
Comentário intuitivo: o sinal negativo indica que, ao nos aproximarmos de x=L vindo do interior, a temperatura decresce para a superfície (o calor sai para o banho).
Passo 4
Encontrar a quantidade total de energia por unidade de área transferida ao banho durante o processo até o regime permanente.
Como não há geração e a placa parte em T_i e termina em T_\infty, a energia total por unidade de área removida do sólido é a redução da energia interna por unidade de área:
Interpretação: este valor é a energia por unidade de área (relativa à área de uma face) que o banho recebeu no decorrer do resfriamento até o equilíbrio.
Passo 5
Calcular a energia transferida ao banho utilizando a expressão q''(t)=A\mathrm{e}^{-Bt}, com A=1,80\times10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} e B=4,126\times10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}.
A energia por unidade de área transferida através de UMA face, usando essa expressão, é a integral temporal:
Se a expressão q''(t) dada se refere ao fluxo em UMA face (o que é coerente, pois q''(0)=1{,}80\times10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 é exatamente o valor encontrado no Passo 3), então a energia total removida de TODA a placa (duas faces) seria o dobro: