Os tempos de vida das partículas conhecidas como ressonâncias não podem ser medidos diretamente, mas são calculados a partir da largura da curva da seção reta de espalhamento. Por exemplo, o espalhamento de um píon por um próton pode dar origem a uma ressonância \Delta com uma massa de 1685 \mathrm{MeV} / \mathrm{c}^{2} e uma largura de 250 MeV . Calcule o tempo de vida da ressonância \Delta.

Passo 1

O enunciado dá:
  • massa da ressonância: \,1685\\ \mathrm{MeV}/c^{2}\, (informação fornecida, mas não necessária para o cálculo pedido);
  • largura energética da ressonância: \,\Gamma=250\\ \mathrm{MeV}\,.
O que é pedido: calcular o tempo de vida (tempo médio de decaimento) da ressonância \Delta, ou seja \tau.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar. Ressonâncias têm vida finita e aparecem nos espectros com uma largura em energia \Gamma. A relação entre largura e tempo de vida vem da mecânica quântica (lei de decaimento exponencial) e pode ser escrita como
\tau = \frac{\hbar}{\Gamma},
onde:
  • \tau é o tempo de vida médio (em segundos);
  • \hbar é a constante de Dirac reduzida ( \hbar = \dfrac{h}{2\pi}), medida em energia·tempo (por ex. \mathrm{MeV\cdot s} ou \mathrm{J\cdot s});
  • \Gamma é a largura em energia (em mesmas unidades de energia que \hbar tem por unidade de tempo).
Breve justificativa física (resumida): a amplitude temporal de um estado instável costuma ter a forma \exp\!\big(-\tfrac{iE}{\hbar}t-\tfrac{\Gamma}{2\hbar}t\big). A probabilidade decai como \exp\!\big(-\tfrac{\Gamma}{\hbar}t\big), cuja constante de tempo é \tau=\hbar/\Gamma. Assim cada símbolo significa o que disse acima.

Passo 3

Cálculo direto usando unidades convenientes. É prático usar \hbar em unidades de \mathrm{MeV\cdot s}:
\hbar = 6,582119569\times10^{-22}\\ \mathrm{MeV\cdot s}.
Aplicando \tau=\hbar/\Gamma com \Gamma=250\\ \mathrm{MeV}:
\tau = \frac{6,582119569\times10^{-22}}{250}\\ \mathrm{s} = 2,6328478276\times10^{-24}\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três algarismos significativos):
\tau \approx 2,63\times10^{-24}\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Verificação alternativa (mesmo resultado, só para consolidar a conversão de unidades). Converter \Gamma para joules usando 1\\ \mathrm{MeV}=1,602176634\times10^{-13}\\ \mathrm{J}:
\Gamma = 250\\ \mathrm{MeV} = 250\times1,602176634\times10^{-13}\\ \mathrm{J} = 4,005441585\times10^{-11}\\ \mathrm{J}.
Usando \hbar = 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}:
\tau = \frac{1,054571817\times10^{-34}}{4,005441585\times10^{-11}}\\ \mathrm{s} \approx 2,6328\times10^{-24}\\ \mathrm{s},
coincidindo com o valor obtido anteriormente.

Passo 5

Interpretação final curta e motivadora: o tempo de vida calculado é muito curto, da ordem de 10^{-24}\\ \mathrm{s}, típico de ressonâncias hadrônicas. Isso significa que a ressonância desaparece (decaindo) quase imediatamente após ser formada — por isso só aparece como uma largura na seção de espalhamento.

Resposta

\tau \approx 2,63\times10^{-24}\\ \mathrm{s}

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