Uma equação de diferenças consiste numa equação que envolve uma função y(t) e os valores da função em diferentes argumentos como y(t+a) onde a é uma constante. Por exemplo,
y(t)-3 y(t+1)+2 y(t-1)=e^t y(t) y(t+3)=sen(t)
são alguns exemplos de equações de diferenças. Um caso particular, consiste em relações de recorrências, como por exemplo: an+2-3 an+1+2 an=0 com a0=0, a1=1. O problema aqui é encontrar uma fórmula geral para an em função de n. Fazendo y(t)=an para n <= t, obtemos uma equação de diferenças: y(t+2)-3 y(t+1)+2 y(t)=0 e podemos usar a Transformada de Laplace para resolver tais equações. Faça isso para as seguintes equações:
5.
an+1+an=1 a0=0, a1=1 an+2-3 an+1+2 an=3^n a0=0, a1=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui são duas equações de recorrência que a gente precisa resolver para encontrar uma fórmula geral para a sequência $ a_n $. As equações envolvem termos anteriores da sequência, e a gente vai usar a Transformada de Laplace para resolver isso. Vamos precisar entender um pouco sobre equações de diferenças e como aplicar a Transformada de Laplace nelas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira equação:
an+1 + an = 1 com a0 = 0, a1 = 1
Essa é uma equação de recorrência linear de primeira ordem. Para resolver, vamos aplicar a Transformada de Laplace discreta, que transforma a sequência $ a_n $ em uma função geradora.

Passo 3

Definimos a Transformada de Laplace da sequência $ a_n $ como:
an
Aplicando a transformada na equação de recorrência, temos:
A(z) = sumn=0^infty an z^-n

Passo 4

Simplificando as séries:
z (A(z) - a0) + A(z) = zz - 1
Substituindo $ a_0 = 0 $, temos:
a0 = 0
Fatorando $ A(z) $:
z A(z) + A(z) = zz - 1
Isolando $ A(z) $:
A(z)

Passo 5

Agora, fazemos a decomposição em frações parciais:
zz^2 - 1 = Az - 1 + Bz + 1
Multiplicando ambos os lados por $ z^2 - 1 $:
z^2 - 1
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
  • Para $ z = 1 $: $ 1 = A(2) $ então $ A = \frac{1}{2} $
  • Para $ z = -1 $: $ -1 = B(-2) $ então $ B = \frac{1}{2} $

Passo 6

Portanto, a transformada fica:
A(z) = 1/2z - 1 + 1/2z + 1
Reescrevendo:
A(z) = 12 cdot 1z - 1 + 12 cdot 1z + 1

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
an = 12 (1)^n + 12 (-1)^n
Simplificando:
an = 1 + (-1)^n2

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda equação:
an+2 - 3 an+1 + 2 an = 3^n com a0 = 0, a1 = 1
Essa é uma equação de recorrência linear de segunda ordem com termo não homogêneo $ 3^n $. Vamos usar a Transformada de Laplace novamente.

Passo 9

Definimos a transformada da sequência como antes:
A(z) = sumn=0^infty an z^-n
Aplicando a transformada na equação de recorrência:
sumn=0^infty an+2 z^-n - 3 sumn=0^infty an+1 z^-n + 2 sumn=0^infty an z^-n = sumn=0^infty 3^n z^-n

Passo 10

Simplificando as séries:
z^2 (A(z) - a0 - a1 z^-1) ) - 3z (A(z) - a0) + 2 A(z) = zz - 3
Substituindo $ a_0 = 0 $ e $ a_1 = 1 $:
a0 = 0
Multiplicando tudo por $ z $ para eliminar os denominadores:
a1 = 1
Agrupando os termos de $ A(z) $:
z^2 (A(z) - 1 cdot z^-1) - 3z A(z) + 2 A(z) = zz - 3
Fatorando:
z
z^3 A(z) - z^2 + (-3 z^2) A(z) + 2 z A(z) = z^2z - 3
Isolando $ A(z) $:
A(z)

Passo 11

Fazemos a decomposição em frações parciais:
z(z -1)(z -3) = Az -1 + Bz -3
Multiplicando ambos os lados por $ (z -1)(z -3) $:
(z -1)(z -3)
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
  • Para $ z =1 $: z = A(z -3) + B(z -1) então $ A = -\frac{1}{2} $
  • Para $ z =3 $: A então $ B = \frac{3}{2} $

Passo 12

Portanto, a transformada fica:
A(z) = -12 cdot 1z -1 + 32 cdot 1z -3

Passo 13

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
an = -12 (1)^n + 32 (3)^n
Simplificando:
an = 3^n+1 -12

Resposta

A solução geral das equações de diferenças são:
  1. Para $ a_{n+1} + a_n = 1 $ com $ a_0 = 0 $, $ a_1 = 1 $:
an+1 + an = 1
  1. Para $ a_{n+2} - 3 a_{n+1} + 2 a_n = 3^n $ com $ a_0 = 0 $, $ a_1 = 1 $:
a0 = 0

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