Uma equação de diferenças consiste numa equação que envolve uma função
e os valores da função em diferentes argumentos como
onde a é uma constante. Por exemplo,
são alguns exemplos de equações de diferenças. Um caso particular, consiste em relações de recorrências, como por exemplo:
com
. O problema aqui é encontrar uma fórmula geral para
em função de
. Fazendo
para
, obtemos uma equação de diferenças:
e podemos usar a Transformada de Laplace para resolver tais equações. Faça isso para as seguintes equações:
5.
5.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui são duas equações de recorrência que a gente precisa resolver para encontrar uma fórmula geral para a sequência $ a_n $. As equações envolvem termos anteriores da sequência, e a gente vai usar a Transformada de Laplace para resolver isso. Vamos precisar entender um pouco sobre equações de diferenças e como aplicar a Transformada de Laplace nelas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a primeira equação:
Essa é uma equação de recorrência linear de primeira ordem. Para resolver, vamos aplicar a Transformada de Laplace discreta, que transforma a sequência $ a_n $ em uma função geradora.
Passo 3
Definimos a Transformada de Laplace da sequência $ a_n $ como:
Aplicando a transformada na equação de recorrência, temos:
Passo 4
Simplificando as séries:
Substituindo $ a_0 = 0 $, temos:
Fatorando $ A(z) $:
Isolando $ A(z) $:
Passo 5
Agora, fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ z^2 - 1 $:
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
- Para $ z = 1 $: $ 1 = A(2) $ então $ A = \frac{1}{2} $
- Para $ z = -1 $: $ -1 = B(-2) $ então $ B = \frac{1}{2} $
Passo 6
Portanto, a transformada fica:
Reescrevendo:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos resolver a segunda equação:
Essa é uma equação de recorrência linear de segunda ordem com termo não homogêneo $ 3^n $. Vamos usar a Transformada de Laplace novamente.
Passo 9
Definimos a transformada da sequência como antes:
Aplicando a transformada na equação de recorrência:
Passo 10
Simplificando as séries:
Substituindo $ a_0 = 0 $ e $ a_1 = 1 $:
Multiplicando tudo por $ z $ para eliminar os denominadores:
Agrupando os termos de $ A(z) $:
Fatorando:
Isolando $ A(z) $:
Passo 11
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ (z -1)(z -3) $:
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
- Para $ z =1 $:
então $ A = -\frac{1}{2} $ - Para $ z =3 $:
então $ B = \frac{3}{2} $
Passo 12
Portanto, a transformada fica:
Passo 13
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Simplificando:
Resposta
A solução geral das equações de diferenças são:
- Para $ a_{n+1} + a_n = 1 $ com $ a_0 = 0 $, $ a_1 = 1 $:
- Para $ a_{n+2} - 3 a_{n+1} + 2 a_n = 3^n $ com $ a_0 = 0 $, $ a_1 = 1 $: