Inicialmente, 1 mol de oxigênio (considerado um gás ideal) está a uma temperatura de 310 K com um volume de 12 L . Permitimos que o gás se expanda para um volume final de 19 L .
Qual será a temperatura final se o gás se expandir adiabaticamente? O oxigênio ( \mathrm{O}_{2} ) é um gás diatômico e, neste caso, as moléculas giram, mas não oscilam.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Dados: \n
n=1 mol de gás ideal (oxigênio), \;T_1=310\\ \text{K}, \;V_1=12\\ \text{L}, \;V_2=19\\ \text{L}. O processo é adiabático (sem troca de calor) e o oxigênio é um gás diatômico no regime em que as rotações estão ativas mas as vibrações estão congeladas. Pergunta: qual é a temperatura final T_2 após a expansão adiabática?

Passo 2

Entendendo quantos graus de liberdade e como isso afeta as capacidades térmicas (a ideia é: isso determina \gamma).
Para um gás diatômico sem vibrações ativas temos f=5 graus de liberdade (3 translação + 2 rotação). A capacidade molar a volume constante é
C_V=\frac{f}{2}R=\frac{5}{2}R.
A capacidade a pressão constante é
C_P=C_V+R=\frac{7}{2}R.
O expoente adiabático é
\gamma=\frac{C_P}{C_V}=\frac{\tfrac{7}{2}R}{\tfrac{5}{2}R}=\frac{7}{5}=1{,}4.
Expliquei isso porque \gamma é o que aparece nas fórmulas para processos adiabáticos.

Passo 3

Derivação curta da relação adiabática (pra você saber de onde vem e aplicar em prova). Para um processo adiabático reversível vale Q=0, então a primeira lei vira
dU=-PdV.
Para gás ideal dU=n C_V dT. E pela equação dos gases ideais P=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo:
n C_V dT = -\frac{nRT}{V}dV.
Dividindo por n e rearranjando:
C_V\frac{dT}{T} = -R\frac{dV}{V}.
Como \dfrac{R}{C_V}=\gamma-1, obtemos
\frac{dT}{T}=-(\gamma-1)\frac{dV}{V}.
Integrando entre os estados inicial e final:
\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{const} \quad\Rightarrow\quad T V^{\gamma-1}=\text{const}.

Passo 4

Aplicando a relação entre os estados inicial e final:
T_1 V_1^{\gamma-1}=T_2 V_2^{\gamma-1}.
Isolando T_2:
T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.
Aqui T_1, V_1, V_2 já são dados e \gamma foi calculado no Passo 2.

Passo 5

Agora preenchendo números. Primeiro o expoente:
\gamma-1 = 1{,}4-1 = 0{,}4.
A razão de volumes é
\frac{V_1}{V_2}=\frac{12}{19}\approx 0{,}6315789.
Então
T_2 = 310\left(\frac{12}{19}\right)^{0{,}4}.
Para calcular \left(\dfrac{12}{19}\right)^{0{,}4} sem usar uma calculadora, uso logaritmos (método que dá bom resultado com papel e lápis): \n
\log_{10}\!12=1{,}079181246 e \log_{10}\!19=1{,}278753600. Portanto
\log_{10}\!\left(\frac{12}{19}\right)=1{,}079181246-1{,}278753600=-0{,}199572354.
Multiplicando pelo expoente 0{,}4:
0{,}4\cdot\log_{10}\!\left(\frac{12}{19}\right)=-0{,}0798289416.
Voltando da base 10 para a potência:
\left(\frac{12}{19}\right)^{0{,}4}=10^{-0{,}0798289416}\approx 0{,}8321.
(esse último passo é converter 10^{x} para número; aqui usei a aproximação 10^{-0{,}08}\approx 0{,}832, que é facilmente obtida com uma tabela de log ou série curta). Finalmente
T_2 \approx 310\times 0{,}8321 \approx 257{,}8\\ \text{K}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: a temperatura caiu de 310\\ \text{K} para aproximadamente 258\\ \text{K}, o que faz sentido fisicamente: numa expansão adiabática do gás ideal o trabalho é realizado por ele e sua energia interna (temperatura) diminui. O valor final está arredondado para três algarismos significativos.

Resposta

258\\ \text{K}

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