Inicialmente, 1 mol de oxigênio (considerado um gás ideal) está a uma temperatura de 310 K com um volume de 12 L . Permitimos que o gás se expanda para um volume final de 19 L .
Qual será a temperatura final se o gás se expandir adiabaticamente? O oxigênio (
) é um gás diatômico e, neste caso, as moléculas giram, mas não oscilam.
Qual será a temperatura final se o gás se expandir adiabaticamente? O oxigênio (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Dados: \n
mol de gás ideal (oxigênio),
,
,
. O processo é adiabático (sem troca de calor) e o oxigênio é um gás diatômico no regime em que as rotações estão ativas mas as vibrações estão congeladas. Pergunta: qual é a temperatura final
após a expansão adiabática?
Passo 2
Entendendo quantos graus de liberdade e como isso afeta as capacidades térmicas (a ideia é: isso determina
).
Para um gás diatômico sem vibrações ativas temos graus de liberdade (3 translação + 2 rotação). A capacidade molar a volume constante é
Para um gás diatômico sem vibrações ativas temos
A capacidade a pressão constante é
O expoente adiabático é
Expliquei isso porque
é o que aparece nas fórmulas para processos adiabáticos.
Passo 3
Derivação curta da relação adiabática (pra você saber de onde vem e aplicar em prova). Para um processo adiabático reversível vale
, então a primeira lei vira
Para gás ideal
. E pela equação dos gases ideais
. Substituindo:
Dividindo por
e rearranjando:
Como
, obtemos
Integrando entre os estados inicial e final:
Passo 4
Aplicando a relação entre os estados inicial e final:
Isolando
:
Aqui
,
,
já são dados e
foi calculado no Passo 2.
Passo 5
Agora preenchendo números. Primeiro o expoente:
A razão de volumes é
Então
Para calcular
sem usar uma calculadora, uso logaritmos (método que dá bom resultado com papel e lápis): \n
e
. Portanto
Multiplicando pelo expoente
:
Voltando da base 10 para a potência:
(esse último passo é converter
para número; aqui usei a aproximação
, que é facilmente obtida com uma tabela de log ou série curta). Finalmente
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: a temperatura caiu de
para aproximadamente
, o que faz sentido fisicamente: numa expansão adiabática do gás ideal o trabalho é realizado por ele e sua energia interna (temperatura) diminui. O valor final está arredondado para três algarismos significativos.