Quando um feixe de luz incide na interface plana de dois meios transparentes, como ar e acrilico (semicircular), o feixe de luz poderá ser refletido (parcialmente polarizado) e refratado. Para um determinado ângulo de incidência, denominado de ângulo de Brewster \left(\mathrm{O}_{\mathrm{B}}\right), o feixe de luz refletido poderá ser totalmente polarizado. Experimentalmente, isto só ocorrerá, quando a soma do ângulo de incidência \left(\Theta_{\mathrm{B}}\right) e do ângulo de refração ( \Theta_{r} ) for igual a 90^{\circ}.
(a) Faça o diagrama que poderá representar esta experiência.
(b) Descreva como você procedeu no laboratório para determinar experimentalmente o ângulo de Brewster.
(c) Calcule o indice de refração do acrílico, dado que \mathrm{n}_{1}=1 e \Theta_{\mathrm{B}}=55^{\circ}.
(d) Comente o resultado obtido, considerando que o valor teórico do índice de refração do acrílico seja 1,45.
Sugestão: Utilize a Lei de Snell \left[n_{1}, \operatorname{sen} \Theta_{8}=n_{2}, \operatorname{sen} \Theta_{1}\right] e que \left(\Theta_{8}+\Theta_{1}\right)=90^{\circ}\.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) Fazer um diagrama que represente a experiência de um feixe incidindo na interface ar–acrílico (bloco semicircular), mostrando o feixe incidente, o refletido e o refratado e os ângulos relevantes.
  • (b) Descrever o procedimento experimental no laboratório para determinar experimentalmente o ângulo de Brewster.
  • (c) Calcular o índice de refração do acrílico, sabendo que n_{1}=1 (ar) e \Theta_{B}=55^{\circ}.
  • (d) Comentar o resultado obtido comparando com o valor teórico n_{\text{teórico}}=1,45ó.
Informações e condições dadas:
  • Aplicar a Lei de Snell: \;n_{1}\,\sin\Theta_{1}=n_{2}\,\sin\Theta_{2}.
  • Condição experimental para Brewster: \Theta_{B}+\Theta_{r}=90^{\circ} (onde \Theta_{r} é o ângulo de refração correspondente).
  • Valor numérico dado: \Theta_{B}=55^{\circ} e n_{1}=1.
Nenhuma outra informação foi pedida; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceitos e dedução teórica (a pequena “aula” necessária):
  1. O que é a Lei de Snell?
n_{1}\,\sin\Theta_{1}=n_{2}\,\sin\Theta_{2}.
Aqui:
  • n_{1} é o índice de refração do meio 1 (ar, neste problema \,n_{1}=1,).
  • n_{2} é o índice de refração do meio 2 (acrílico, o que queremos achar).
  • \Theta_{1} é o ângulo que o raio incidente faz com a normal à superfície.
  • \Theta_{2} é o ângulo que o raio refratado faz com a normal.
  1. Condição de Brewster (aula curta):
    Experimentalmente diz-se que, para o ângulo de Brewster \Theta_{B}, o feixe refletido fica totalmente polarizado. A condição geométrica usada aqui é
\Theta_{B}+\Theta_{r}=90^{\circ},
ou seja, o ângulo de refração \Theta_{r} é \;90^{\circ}-\Theta_{B}.
  1. Usando Snell com essa condição:
    Substitua \Theta_{1}=\Theta_{B} e \Theta_{2}=\Theta_{r}=90^{\circ}-\Theta_{B} na Lei de Snell:
n_{1}\,\sin\Theta_{B}=n_{2}\,\sin(90^{\circ}-\Theta_{B}).
Use a identidade trigonométrica \sin(90^{\circ}-x)=\cos x para transformar:
n_{1}\,\sin\Theta_{B}=n_{2}\,\cos\Theta_{B}.
Isolando n_{2}:
n_{2} = n_{1}\,\frac{\sin\Theta_{B}}{\cos\Theta_{B}} = n_{1}\,\tan\Theta_{B}.
Portanto, a fórmula prática que vamos usar é
\boxed{\,n_{2}=n_{1}\,\tan\Theta_{B}\,}
Expliquei tudo: o que é cada símbolo, a identidade usada e como chegamos à relação com a tangente — é a forma usual de obter o índice a partir do ângulo de Brewster.

Passo 3

Diagrama pedido em (a) — representação esquemática e explicação do que desenhar no papel/lousa:
Sugestão de desenho (faça à mão seguindo este esquema):
  • Desenhe uma linha reta vertical e marque um pequeno ponto de contato na linha: essa linha é a superfície plana entre ar (esquerda, acima) e acrílico (à direita, abaixo). No ponto de incidência desenhe a normal (linha perpendicular) e marque com a letra N a normal.
  • Trace um raio vindo do ar em direção ao ponto de incidência; marque esse raio como “raio incidente” e o ângulo que ele faz com a normal como \Theta_{B}.
  • No mesmo ponto desenhe o raio refletido no ar, fazendo o ângulo \Theta_{B} com a normal do mesmo lado (lei da reflexão: ângulo incidente = ângulo refletido). Rotule-o “raio refletido”.
  • Desenhe também o raio refratado entrando no acrílico, do outro lado da superfície, formando o ângulo \Theta_{r} com a normal. Rotule-o “raio refratado”.
  • Indique claramente \Theta_{B} (ângulo de incidência e reflexão) e \Theta_{r} (ângulo de refração), e escreva a condição \Theta_{B}+\Theta_{r}=90^{\circ} perto do desenho.
  • Se quiser indicar que o bloco é semicircular, desenhe o contorno semicircular à direita com centro aproximado na interseção da normal com a base; para o experimento prático (ver passo 4) convém apontar que o feixe pode entrar pelo arco (curvo) de forma que não haja refração na entrada (se apontado ao centro), e só incida na face plana onde acontece a reflexão/refratação que medimos.
(O diagrama acima é exatamente o que se pede: mostra normal, raio incidente em \Theta_{B}, raio refletido em \Theta_{B} e raio refratado em \Theta_{r} tal que \Theta_{B}+\Theta_{r}=90^\circ.)

Passo 4

Procedimento experimental detalhado (como eu faria no laboratório) para determinar \Theta_{B}:
Materiais típicos:
  • Fonte laser (feixe colimado), suporte;
  • Bloco semicircular de acrílico montado em um prato giratório com escala angular (goniômetro) ou suporte com protractor;
  • Polarizador (placa polarizadora) e analisador (outro polarizador) se disponível;
  • Tela ou detector para visualizar os feixes refletido e refratado;
  • Régua e marcador para alinhar.
Passos práticos, passo a passo:
  1. Monte o bloco semicircular no centro do prato giratório, com a face plana voltada para a região onde o laser incidirá. Ajuste de modo que o centro da face curva coincida com o ponto onde o feixe pode ser dirigido (se for usar a vantagem do semicirculo).
  2. Alinhe o feixe laser de forma que passe pelo centro da face curva do semicirculo. Isso faz com que o feixe entre no acrílico sem desvio ao atravessar a face curva (porque qualquer raio que venha do centro é normal à superfície curva naquele ponto). Assim evitamos complicações de refração na entrada e garantimos que o ângulo que importa é o do feixe que incide na face plana.
  3. Coloque uma tela ou detector para ver o feixe refletido na superfície plana e marcar sua posição. Inicialmente escolha um ângulo pequeno na escala do prato e observe o feixe refletido.
  4. Para encontrar o ângulo de Brewster de forma prática:
    • Método direto com polarizador: coloque um polarizador antes do bloco e oriente a polarização tal que o campo elétrico esteja paralelo ao plano de incidência (isto é, polarização “p” ou paralela). Agora gire o prato (mude o ângulo de incidência) até que o feixe refletido desapareça ou atinja intensidade mínima na tela. O ângulo de incidência nesse momento é o ângulo de Brewster \Theta_{B}. Meça esse ângulo na escala do prato.
    • Método alternativo (se não tiver polarizador): use luz natural/laser não polarizada e coloque um analisador na direção do feixe refletido; ao girar o analisador você verá que a luz refletida é quase totalmente polarizada em um ângulo particular da montagem. Ajuste o ângulo de incidência até que, ao girar o analisador, a intensidade da luz refletida varie de forma que uma componente se anule; o ângulo no qual a componente paralela some corresponde ao \Theta_{B}.
  5. Faça várias repetições e registre valores. Calcule média e desvio para ter noção da incerteza angular (p.ex. \pm1^\circ ou menos dependendo do equipamento).
  6. Anote a leitura da escala que dá \Theta_{B}. Usando a fórmula da Parte (c) (veja Passo 2), calcule n_{2}.
Dicas práticas para reduzir erro:
  • Garanta que o feixe incida exatamente no ponto central da face curva (se estiver usando a vantagem do semicirculo).
  • Use analisador/polarizador de boa qualidade para ver claramente o apagamento do componente paralelo.
  • Meça múltiplas vezes e calcule média; uma incerteza de 1^\circ já pode alterar um pouco o resultado (a tangente varia rápido com o ângulo), então procure precisão na leitura angular.
  • Trabalhe com laser de baixa potência e proteção ocular.

Passo 5

Cálculo numérico do índice de refração do acrílico (item (c)).
Usamos a fórmula deduzida:
n_{2}=n_{1}\,\tan\Theta_{B}.
Substituindo n_{1}=1 e \Theta_{B}=55^{\circ}:
n_{2}=1\cdot\tan 55^{\circ}=\tan 55^{\circ}.
Valor numérico (aproximação usando tabela trigonométrica ou calculadora):
\tan 55^{\circ}\approx 1,428.
Portanto:
\boxed{\,n_{2}\approx 1,428\\ (\text{ou arredondando }1,43)\,}

Passo 6

Comentário comparando com o valor teórico n_{\text{teórico}}=1,45ó (item (d)) e fontes de diferença:
  1. Erro percentual relativo:
\text{Erro relativo}=\frac{|n_{\text{teórico}}-n_{\text{obtido}}|}{n_{\text{teórico}}} =\frac{|1,45-1,428|}{1,45}\approx 0,0152\approx 1,52\%.óó
Ou seja, o valor experimental 1,428 difere de 1,45 em cerca de 1,5\%, o que é um resultado bastante razoável para um experimento de bancada com leitura manual de ângulos.
  1. Possíveis causas da pequena diferença (violando a perfeição ideal):
  • Incerteza na leitura angular (um erro de \pm1^\circ em \Theta_{B} causa variação apreciável em \tan\Theta).
  • Polarização não perfeitamente paralela ao plano de incidência ou polarizadores/analisadores imperfeitos.
  • Dependência do índice de refração com o comprimento de onda (dispersão): lasers de diferentes cores dão índices ligeiramente diferentes; o valor teórico de 1,45 pode referir-se a outra faixa espectral.
  • Impurezas ou variação do acrílico usado (tipo comercial diferente do valor teórico).
  • Alinhamento do feixe com o centro da face curva não perfeito, gerando pequena refração na entrada e erro efetivo no ângulo incidente na face plana.
  1. Conclusão prática: o resultado experimental n_{2}\approx 1,428 está muito próximo do valor teórico 1,45. Com cuidados (melhor resolução angular, polarizador de qualidade, controle de comprimento de onda) é possível reduzir ainda mais a diferença. Vai dar tudo certo — bom experimento!

Resposta

(a) Desenho esquemático: raio incidente formando \Theta_{B} com a normal N, raio refletido com \Theta_{B} e raio refratado com \Theta_{r}, tal que \Theta_{B}+\Theta_{r}=90^{\circ} (ver diagrama descrito no Passo 3).\n
(b) Procedimento: usar laser e bloco semicircular montado em prato giratório; fazer o feixe passar pelo centro da face curva, variar o ângulo até que a componente paralela § do feixe refletido zere usando polarizador/analisador; ler \Theta_{B} na escala; repetir e fazer média (detalhes no Passo 4).\n
(c) n_{2}=n_{1}\tan\Theta_{B}=1\cdot\tan 55^{\circ}\approx 1,428 (aprox. 1,43).\n
(d) O valor experimental 1,428 difere do teórico 1,45 por cerca de 1,52\%; diferença aceitável por causa de incertezas angulares, qualidade do polarizador, dispersão do material, alinhamento e variação do acrílico.

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