Inicialmente, 3 g de sódio são dissolvidos em um recipiente com 6 l de água. Uma solução sódica passa a ser bombeada para dentro do recipiente a uma taxa de 0,5 l por minuto, sendo que depois de ser bem misturada é drenada na mesma taxa. Considerando-se Q(t) a quantidade de sal após t minutos segue que
Q^prime(t)=Te-Ts,
onde Te e Ts denotam, respectivamente, as taxas de entrada e saída de sal.
(b) Multiplicando a equação (1) por e^t / 12, mostre que
(e^t / 12 Q(t))^prime=e^t / 12

Passo 1

O enunciado descreve um tanque contendo inicialmente 6 L de água com 3 g de sal dissolvidos. Entra e sai solução ao mesmo fluxo de 0,5 L/min, de modo que o volume permanece 6 L. Se Q(t) é a quantidade de sal em gramas no instante t, obtém-se a equação diferencial linear de primeira ordem
Q'(t)=Te - Ts
onde a taxa de entrada Te é constante igual a 1 g/min e a taxa de saída é
Ts = 0,5;Q(t)6 = Q(t)12

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão de equação linear, temos
Q'(t) + 112,Q(t) = 1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por e^t/12, obtendo
e^t/12,Q'(t) + 112,e^t/12,Q(t) = e^t/12

Passo 4

Observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^t/12Q(t), pois
l(e^t/12Q(t)r)' = e^t/12,Q'(t) + l(e^t/12r)',Q(t) = e^t/12,Q'(t) + 112,e^t/12,Q(t)
Logo, concluímos
l(e^t/12Q(t)r)' = e^t/12

Resposta

l(e^t/12Q(t)r)' = e^t/12

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