Em cada um dos Problemas 1 a 6 , suponha que a função dada é estendida periodicamente para fora do intervalo original.
Encontre a série de Fourier da função estendida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Fourier da função f(x) , que é definida por partes e estendida periodicamente fora do intervalo original. A função dada é:
f(x) = -1, & -pi <= x < 0, 1, & 0 <= x < pi
Vamos precisar usar o conteúdo de séries de Fourier, que nos permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando que a função é definida de -pi a pi, o período T é 2pi.
A série de Fourier para uma função de período 2pi é dada por:
Mas isso não parece certo! Vamos revisar. Na verdade, para funções pares, os coeficientes an não são todos zero. O erro está na avaliação das integrais. Vamos refazer:
Sabemos que sin(-npi) = -sin(npi) e sin(npi) = 0, então:
an = 1pi ( 0 - 0 + 0 - 0 ) = 0
Na verdade, a função f(x) é ímpar em relação a um deslocamento, o que significa que devemos ajustar nossa abordagem. Vamos considerar a função em termos de cossenos apenas.
Passo 5
Vamos reconsiderar a simetria da função. A função f(x) é ímpar em relação a pi/2. Vamos ajustar os limites de integração para facilitar o cálculo:
Parece que estamos encontrando an = 0 novamente. Isso indica que a série de Fourier dessa função possui apenas os termos de seno.
Passo 6
Vamos reavaliar a simetria da função. Observamos que f(x) é uma função ímpar, já que f(-x) = -f(x). Portanto, os coeficientes an serão zero e apenas os termos seno serão presentes na série de Fourier.