Em cada um dos Problemas 1 a 6 , suponha que a função dada é estendida periodicamente para fora do intervalo original. ^5
Encontre a série de Fourier da função estendida.
f(x)=rr-1, & pi <= x<0, 1, & 0 <= x<pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Fourier da função f(x) , que é definida por partes e estendida periodicamente fora do intervalo original. A função dada é:
f(x) = -1, & -pi <= x < 0, 1, & 0 <= x < pi
Vamos precisar usar o conteúdo de séries de Fourier, que nos permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando que a função é definida de -pi a pi, o período T é 2pi.
A série de Fourier para uma função de período 2pi é dada por:
f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sin(nx) ]
Nosso primeiro passo é encontrar o coeficiente a0, que representa a média da função no intervalo.

Passo 3

Calculando a0:
a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx
Substituindo a função por partes:
a0 = 1pi ( integral-pi^0 (-1) , dx + integral0^pi 1 , dx )
Resolvendo as integrais:
a0 = 1pi ( (-1) cdot pi + 1 cdot pi ) = 1pi ( -pi + pi ) = 0
Então, a0 = 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an, que multiplicam os termos de cosseno:
an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx
Como a função f(x) é par ( f(-x) = f(x)), os termos de seno ( bn) vão ser zero. Portanto, não precisamos calcular bn.
Substituindo f(x) por partes:
an = 1pi ( integral-pi^0 (-1) cos(nx) , dx + integral0^pi 1 cos(nx) , dx )
Calculando cada integral:
integral cos(nx) , dx = sin(nx)n
Aplicando os limites:
an = 1pi ( [ -sin(nx)n ]-pi^0 + [ sin(nx)n ]0^pi )
Avaliando:
an = 1pi ( -sin(0)n + sin(-npi)n + sin(npi)n - sin(0)n )
Como sin(npi) = 0 para qualquer inteiro n:
an = 1pi ( 0 + 0 + 0 + 0 ) = 0
Mas isso não parece certo! Vamos revisar. Na verdade, para funções pares, os coeficientes an não são todos zero. O erro está na avaliação das integrais. Vamos refazer:
an = 1pi ( -sin(ncdot0)n + sin(-npi)n + sin(npi)n - sin(0)n )
Sabemos que sin(-npi) = -sin(npi) e sin(npi) = 0, então:
an = 1pi ( 0 - 0 + 0 - 0 ) = 0
Na verdade, a função f(x) é ímpar em relação a um deslocamento, o que significa que devemos ajustar nossa abordagem. Vamos considerar a função em termos de cossenos apenas.

Passo 5

Vamos reconsiderar a simetria da função. A função f(x) é ímpar em relação a pi/2. Vamos ajustar os limites de integração para facilitar o cálculo:
an = 1pi integral0^2pi f(x) cos(nx) , dx
Dividindo em duas partes:
an = 1pi ( integral0^pi 1 cdot cos(nx) , dx + integralpi^2pi (-1) cos(nx) , dx )
Calculando cada integral:
integral cos(nx) , dx = sin(nx)n
Aplicando os limites:
an = 1pi ( [ sin(npi)n - sin(0)n ] + [ -sin(2npi)n + sin(npi)n ] )
Sabendo que sin(npi) = 0 e sin(2npi) = 0:
an = 1pi ( 0 + 0 ) = 0
Parece que estamos encontrando an = 0 novamente. Isso indica que a série de Fourier dessa função possui apenas os termos de seno.

Passo 6

Vamos reavaliar a simetria da função. Observamos que f(x) é uma função ímpar, já que f(-x) = -f(x). Portanto, os coeficientes an serão zero e apenas os termos seno serão presentes na série de Fourier.
Então, a série de Fourier simplifica para:
f(x) = sumn=1^infty bn sin(nx)
Agora, vamos calcular os coeficientes bn:
bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx
Substituindo a função por partes:
bn = 1pi ( integral-pi^0 (-1) sin(nx) , dx + integral0^pi 1 cdot sin(nx) , dx )
Calculando as integrais:
integral sin(nx) , dx = -cos(nx)n
Aplicando os limites:
bn = 1pi ( [ -cos(0)n + cos(-npi)n ] + [ -cos(npi)n + cos(0)n ] )
Simplificando:
bn = 1pi ( -1n + (-1)^nn - (-1)^nn + 1n ) = 2(1 - (-1)^n)npi

Resposta

A série de Fourier da função f(x) estendida periodicamente é:
f(x) = sumn=1^infty 2(1 - (-1)^n)npi sin(nx)

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