Iniciando do repouso em
, uma roda experimenta uma aceleração angular constante. Quando
s, a velocidade angular da roda é
rad/s. A aceleração continua até
s, quando cessa repentinamente. De que ângulo a roda gira no intervalo de
a
s?
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma roda que começa parada (
t=0) e passa por uma aceleração angular constante. A gente sabe que, após 2,33 segundos, a velocidade angular dela é 4,96 rad/s. Essa aceleração continua até 23,0 segundos, quando para de repente. A pergunta é: qual o ângulo total que a roda gira entre 0 e 46,0 segundos? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente sobre aceleração angular, velocidade angular e deslocamento angular.Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é aceleração angular. Assim como na cinemática linear, onde a aceleração indica como a velocidade muda ao longo do tempo, na cinemática rotacional a aceleração angular (
$\alpha$) mostra como a velocidade angular ($\omega$) muda. A fórmula básica que relaciona velocidade angular e aceleração angular é:Sabemos que a roda começa do repouso, então a velocidade inicial (
$\omega_0$) é 0. Atingimos uma velocidade de 4,96 rad/s em 2,33 segundos. Vamos usar esses valores para encontrar a aceleração angular.Passo 3
Usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Agora, vamos resolver para
$\alpha$:Então, a aceleração angular é aproximadamente
2,13 rad/s².Passo 4
Agora que temos a aceleração angular, vamos descobrir qual será a velocidade angular quando a aceleração para, ou seja, aos
23,0 segundos. Usamos a mesma fórmula:Sabendo que a aceleração ocorre até
23,0 segundos e começamos do repouso:Então, a velocidade angular ao final da aceleração é de aproximadamente
49,0 rad/s.Passo 5
Agora, vamos calcular o ângulo que a roda gira durante a fase de aceleração, dos
0 aos 23,0 segundos. Para isso, usamos a fórmula do deslocamento angular ($\theta$):Como
$\omega_0$ é zero:Calculando:
Então, durante a aceleração, a roda gira aproximadamente
563,0 radianos.Passo 6
Depois que a aceleração para aos
23,0 segundos, a roda continua girando com a velocidade constante de 49,0 rad/s até 46,0 segundos. Vamos calcular o tempo dessa fase:O deslocamento angular nessa fase é:
Então, nesse período, a roda gira
1.127,0 radianos.Resposta
Somando os dois deslocamentos angulares:
A roda gira um total de 1.690,0 radianos no intervalo de
0 a 46,0 segundos.