Iniciando do repouso em t=0, uma roda experimenta uma aceleração angular constante. Quando t=2,33 s, a velocidade angular da roda é 4,96 rad/s. A aceleração continua até t=23,0 s, quando cessa repentinamente. De que ângulo a roda gira no intervalo de t=0 a t=46,0 s?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma roda que começa parada (t=0) e passa por uma aceleração angular constante. A gente sabe que, após 2,33 segundos, a velocidade angular dela é 4,96 rad/s. Essa aceleração continua até 23,0 segundos, quando para de repente. A pergunta é: qual o ângulo total que a roda gira entre 0 e 46,0 segundos? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente sobre aceleração angular, velocidade angular e deslocamento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aceleração angular. Assim como na cinemática linear, onde a aceleração indica como a velocidade muda ao longo do tempo, na cinemática rotacional a aceleração angular ($\alpha$) mostra como a velocidade angular ($\omega$) muda. A fórmula básica que relaciona velocidade angular e aceleração angular é:
alpha
Sabemos que a roda começa do repouso, então a velocidade inicial ($\omega_0$) é 0. Atingimos uma velocidade de 4,96 rad/s em 2,33 segundos. Vamos usar esses valores para encontrar a aceleração angular.

Passo 3

Usando a fórmula:
omega = omega0 + alpha t
Substituindo os valores:
4,96 = 0 + alpha times 2,33
Agora, vamos resolver para $\alpha$:
alpha
Então, a aceleração angular é aproximadamente 2,13 rad/s².

Passo 4

Agora que temos a aceleração angular, vamos descobrir qual será a velocidade angular quando a aceleração para, ou seja, aos 23,0 segundos. Usamos a mesma fórmula:
omega = omega0 + alpha t
Sabendo que a aceleração ocorre até 23,0 segundos e começamos do repouso:
omega = 0 + 2,13 times 23,0 approx 49,0 rad/s
Então, a velocidade angular ao final da aceleração é de aproximadamente 49,0 rad/s.

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo que a roda gira durante a fase de aceleração, dos 0 aos 23,0 segundos. Para isso, usamos a fórmula do deslocamento angular ($\theta$):
theta
Como $\omega_0$ é zero:
theta = omega0 t + 12 alpha t^2
Calculando:
omega0
Então, durante a aceleração, a roda gira aproximadamente 563,0 radianos.

Passo 6

Depois que a aceleração para aos 23,0 segundos, a roda continua girando com a velocidade constante de 49,0 rad/s até 46,0 segundos. Vamos calcular o tempo dessa fase:
46,0 s - 23,0 s = 23,0 s
O deslocamento angular nessa fase é:
theta = omega times t = 49,0 times 23,0 = 1.127,0 rad
Então, nesse período, a roda gira 1.127,0 radianos.

Resposta

Somando os dois deslocamentos angulares:
563,0 rad + 1.127,0 rad = 1.690,0 rad
A roda gira um total de 1.690,0 radianos no intervalo de 0 a 46,0 segundos.

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