Um volante completa 42,3 rev à medida que desacelera de uma velocidade angular de 1,44 rad/s até parar completamente. Quanto tempo é necessário para completar a primeira metade das 42,3 rev?

Passo 1

O enunciado diz: “Um volante faz 42,3 rev enquanto desacelera de ω₀ = 1,44 rad/s até parar. Quanto tempo leva para completar a primeira metade dessas 42,3 rev?”
Conteúdo: Cinemática angular com aceleração angular constante.
O que vamos usar:
• Converter rotações em radianos (1 rev = 2π rad)
• Equação do movimento angular:
θ(t) = ω₀ t + ½ α t²
• Equação que relaciona velocidades e deslocamento angular:
ω² = ω₀² + 2 α θ

Passo 2

  1. Converter o deslocamento total em rad:
    θ_total = 42,3 rev · 2π rad/rev = 42,3·2π ≈ 265,7 rad.
  2. Calcular a aceleração angular α usando ω_final = 0 e θ_total:
    0 = ω₀² + 2 α θ_total
    α = – ω₀² / (2 θ_total)
    α = – (1,44²) / (2·265,7) ≈ –0,00390 rad/s²

Passo 3

Queremos o tempo t₁ em que o volante já rodou metade do ângulo:
θ₁ = θ_total/2 ≈ 265,7/2 = 132,85 rad.
Usamos θ(t₁) = ω₀ t₁ + ½ α t₁², ou seja:
½ α t₁² + ω₀ t₁ – θ₁ = 0
Substituindo valores:
(½·(–0,00390)) t₁² + 1,44 t₁ – 132,85 = 0
–0,00195 t₁² + 1,44 t₁ – 132,85 = 0
Isso é uma equação quadrática at² + bt + c = 0 com
a = –0,00195, b = 1,44, c = –132,85.
Discriminante:
Δ = b² – 4 a c = 1,44² – 4·(–0,00195)·(–132,85) ≈ 1,036
Raízes:
t₁ = [–b ± √Δ] / (2a)
t₁ = [–1,44 ± 1,018] / (2·(–0,00195))
As duas soluções são ≈108 s e ≈630 s. Como o tempo de parada total é cerca de ω₀/|α| ≈ 370 s, a raiz válida para a metade do percurso é a menor, 108 s.

Resposta

t ≈ 1,8·10² s (aproximadamente 108 s)

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