Questão 4. (8 pontos)
Calcule a integral definida \int_{e}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{e}^{e^{4}} \frac{\ln(x)}{x}\,dx.
Informações dadas e observações úteis:
O integrando é \frac{\ln(x)}{x}.
Os limites de integração são x=e e x=e^{4}.
A função \frac{\ln(x)}{x} é contínua em [e,e^{4}] (já que x>0 ali), portanto a integral existe.
Passo 2
Vamos usar a técnica de substituição (troca de variável), que é natural aqui porque vemos \ln(x) e \frac{1}{x}\,dx juntos. Faça a substituição
u=\ln(x).
Agora derivamos ambos os lados em relação a x para relacionar du com dx:
du=\frac{1}{x}\,dx.
Isto mostra que \frac{1}{x}\,dx = du, ou seja, \frac{\ln(x)}{x}\,dx = u\,du após a substituição. Como é integral definida, mudamos também os limites usando u=\ln(x):
Breve justificativa da regra de substituição para integrais definidas: se u=g(x) é diferenciável e contínua, então du=g'(x)\,dx e os limites se transformam por u=g(a),u=g(b); assim podemos integrar em u.
Passo 3
Agora integramos \int_{1}^{4} u\,du. Usamos a regra do poder para integrais:
Observação alternativa (útil para a prova): dá para ver diretamente que uma antiderivada de \frac{\ln(x)}{x} é \frac{(\ln(x))^{2}}{2}, porque pela regra da cadeia