Questão 4. (8 pontos)
Calcule a integral definida \int_{e}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{e}^{e^{4}} \frac{\ln(x)}{x}\,dx.
Informações dadas e observações úteis:
  • O integrando é \frac{\ln(x)}{x}.
  • Os limites de integração são x=e e x=e^{4}.
  • A função \frac{\ln(x)}{x} é contínua em [e,e^{4}] (já que x>0 ali), portanto a integral existe.

Passo 2

Vamos usar a técnica de substituição (troca de variável), que é natural aqui porque vemos \ln(x) e \frac{1}{x}\,dx juntos. Faça a substituição
u=\ln(x).
Agora derivamos ambos os lados em relação a x para relacionar du com dx:
du=\frac{1}{x}\,dx.
Isto mostra que \frac{1}{x}\,dx = du, ou seja, \frac{\ln(x)}{x}\,dx = u\,du após a substituição. Como é integral definida, mudamos também os limites usando u=\ln(x):
\text{se } x=e \Rightarrow u=\ln(e)=1,
\text{se } x=e^{4} \Rightarrow u=\ln(e^{4})=4.
Portanto a integral transforma-se em
\int_{e}^{e^{4}} \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \int_{1}^{4} u\,du.
Breve justificativa da regra de substituição para integrais definidas: se u=g(x) é diferenciável e contínua, então du=g'(x)\,dx e os limites se transformam por u=g(a),u=g(b); assim podemos integrar em u.

Passo 3

Agora integramos \int_{1}^{4} u\,du. Usamos a regra do poder para integrais:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1.
No nosso caso n=1, logo
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.
Como é integral definida, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliamos entre u=1 e u=4:
\int_{1}^{4} u\,du = \left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{1}^{4} = \frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}.

Passo 4

Façamos as contas passo a passo:
\frac{4^{2}}{2} = \frac{16}{2} = 8,
\frac{1^{2}}{2} = \frac{1}{2}.
Subtraindo:
8 - \frac{1}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}.
Portanto a integral vale \frac{15}{2}.
Observação alternativa (útil para a prova): dá para ver diretamente que uma antiderivada de \frac{\ln(x)}{x} é \frac{(\ln(x))^{2}}{2}, porque pela regra da cadeia
\frac{d}{dx}\left(\frac{(\ln(x))^{2}}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot 2\ln(x)\cdot\frac{1}{x} = \frac{\ln(x)}{x}.
Essa observação permite escrever imediatamente
\int_{e}^{e^{4}} \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \left.\frac{(\ln(x))^{2}}{2}\right|_{e}^{e^{4}} = \frac{(4)^{2}}{2}-\frac{(1)^{2}}{2}=\frac{15}{2},
obtendo o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{15}{2}

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