Um inspetor de qualidade extrai uma amaostra aleatória de 10 tubos armazenados num depósito onde, de acordo com os padrõesde produção, se esperar um total de 20 % dos tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 tubos extraídos sejam defeituosos? Resp:0,6778
Qual o número esperado de tubos defeituosos neste experimento? Resp:2

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de n=10 tubos, com probabilidade p=0,2 de cada tubo ser defeituoso. Seja X a variável aleatória que conta o número de tubos defeituosos na amostra. Vamos usar a distribuição binomial para calcular a probabilidade de que no máximo 2 tubos sejam defeituosos e a fórmula da esperança de uma binomial para obter o valor esperado.

Passo 2

Para calcular
P(X<=2)=sumk=0^2binom10k(0,2)^k(0,8)^10-k,
avaliamos cada termo:
k=0:;binom100(0,2)^0(0,8)^10=(0,8)^10approx0,1074,
k=1:;binom101(0,2)^1(0,8)^9=10cdot0,2cdot0,8^9approx0,2684,
k=2:;binom102(0,2)^2(0,8)^8=45cdot0,04cdot0,8^8approx0,30199
Somando esses valores,
P(X<=2)approx0,1074+0,2684+0,30199=0,6778

Passo 3

A esperança de uma binomial é dada por
E[X]=n,p=10cdot0,2=2

Resposta

P(no máximo 2 tubos defeituosos)=0,6778á
Número esperado de tubos defeituosos: 2.

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